No.2ベストアンサー
- 回答日時:
数学から大分離れているので、正解できる自信はあまりありませんが・・・
全ての目の出方は6x6x6通りです。
出る目の積が10の倍数になるためには、3つの目の中に必ず5と偶数がひとつずつ含まれていれば良いことになります。
例えば、
5、2、3なら積は30で確かに10の倍数です。
5、4、3でも積は60で10の倍数であり、
5、6、3でも積は90で10の倍数です。
今は3つめを全て3にしましたが、別にここはなんでも良いです。たとえば
5、2、5 のように5がふたつ入っていても50となって10の倍数ですし、
5,2,4 のように偶数がふたつ入っていても40となって10の倍数です。
とにかく3つの目のうち、ひとつが5で、もうひとつが偶数であればよいのです。
その場合の数を考えてみましょう。
ここで、3つのうち少なくともひとつの目が5である事象をAとします。
3つのうち少なくともひとつの目が偶数である事象をBとします。
ここで注意するのは、Aは5の目がひとつだけしかないというわけではなく、5が二つあってもいいし、三つとも5でもかまいません。
Bも同様で、ひとつだけしか偶数がなくてはいけないということではありません。
そうすると、3つの目の中に5と偶数が少なくともひとつずつ含まれている事象は、
A∧B ということになります。ここで∧は共通集合を表すUの逆さまのようなものを出したかったのですが、変換できなかったのでこれで行きます。
ベン・ダイアグラムという、よく丸をいくつか描いて場合の数を整理する図がありますが、今ふたつの重なる部分を持つ円をふたつ描いて、ひとつをA、もうひとつをBとすると、A∧Bはその重なっている部分にあたります。
その重なっている部分の数を数えるには、AとBの数を数えて足すと、重なっている部分を2回数えてしまっていることになります。
そこで、AUBと書き表される和集合の場合の数を求めてAとBのそれぞれの場合の数の和から引いてやると、A∧Bの場合の数が出せます。式で言うと
n(A∧B) = n(A) + n(B) - n(AUB)
です。ここでn()をつけたのは、集合そのものではなく、集合に含まれる要素の数を意味するためです。
n(A)は少なくとも3つの目のうちひとつが5である場合の数です。
これは、全体の6x6x6 通りから、3つとも5以外の{1,2,3,4,6}の5つの要素から目が出る5x5x5通りの場合を引いた数です。
n(A) = 6x6x6 - 5x5x5 = 91
次に、少なくともひとつの目が偶数である場合の数ですが、これは全体の6x6x6通りから、3つとも奇数である場合、つまり、3つとも{1,3,5}の3つの要素から目がでる3x3x3通りの場合を差し引いた数です。
n(B) = 6x6x6 - 3x3x3 = 189
最後にn(AUB)ですが、これは「少なくともひとつが5であるか、または、少なくともひとつが偶数であるか」のどちらかを満たしている場合です。もっと簡潔に言えば、少なくとも一つの目が{2,4,5,6}のうちのどれかです。
つまり、求めたいものは、全体の6x6x6通りから、3つとも目が{1,3}のうちのどれかである2x2x2通りを引いたものです。
n(AUB) = 6x6x6 - 2x2x2 = 208
したがって
n(A∧B) = 91 + 189 - 208 = 72
であり、全体の6x6x6=216でこれを割って、
求める確率は3分の1です。
この回答へのお礼
お礼日時:2014/05/05 01:44
丁寧な回答ありがとうございました。
しばらく数IIIしかやっていなかったのでやり方を忘れていました。やっぱりどんな問題も図を書いてみるのが一番ですね。他の問題も同じように解くことができました。
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