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lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
「任意のn∈Nに対して、lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 が成り立つことをTaylorの定理を用いずに示せ。」という問題です。Taylorの定理を使わない場合、どのように証明すればよろしいのでしょうか?
宜しくお願い致します。

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A 回答 (2件)

f(x)=x^(n+1)/e^x (x>0) を考える.


f ' (x)=(x^n(n+1-x))/e^x
よりf(x)の最大値はf(n+1)=((n+1)^(n+1))/e^(n+1)
そこで次の不等式が成り立つ.
0<x^n/e^x=(x^(n+1)/e^x)・(1/x)≦((n+1)^(n+1))/e^(n+1)・(1/x)
極限をとると,
lim[x→∞]((n+1)^(n+1))/e^(n+1)・(1/x)=0
ハサミウチでlim[x→∞]x^n/e^x=0
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この回答へのお礼

大変わかりやすいご説明誠ににありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時:2010/04/08 16:29

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