合同式と倍数

a，b，c は整数として、a2+ b2 = c2 が成り立つとき、a、b のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数になります。ab が 6 の倍数であることを示すにはどうすればいいですか？

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2022/02/16 16:30

じつは、、a2+ b2 = c2 がなりたつとき

a、b のうち少なくとも 1つは偶数でなければならない。
かりにａ、ｂ両方とも奇数ならば ｃ2は偶数の平方数だから
4でわりきれる、つまり c2≡0（mod４）
一方ａ≡±1、ｂ≡±1（mod４）だから
a2+ b2≡2（mod４）これは矛盾だから
a、b のうち少なくとも 1つは偶数でなければならない。これと
a、b のうち少なくとも 1つは3の倍数でなければならないことから
abは6の倍数になる。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/02/16 08:55

これ、「ピタゴラス数」で検索すると、無数に解説が見つかる。

この件に関してもいろいろな証明が解説されているので
面白いです。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/02/15 16:37

a,b,cは3の倍数・3で割ると1余り・3で割ると2余り、のいずれか。

a≡0,1,2(mod3)
b≡0,1,2(mod3)
c≡0,1,2(mod3)

c²≡0²,1²,2²≡0,1(mod3)
同様にa²≡0,1(mod3) b²≡0,1(mod3)

a²+b²が≡0,1(mod3)になる為には、0と０,又は0と1。1と1では無い。
少なくとも1方は≡0なので、a,bの少なくとも1方は3の倍数。

次にa,b,cは奇数か偶数のどちらかだから
a≡0,1(mod2)
b≡0,1(mod2)
c≡0,1(mod2)
c²≡0²,1²≡0,1(mod2)
同様にa²≡0,1(mod2) b²≡0,1(mod2)とも書ける。
これも足して0,1(mod2)になるには、どちらか一方は≡0
つまり、偶数で無いといけない。

両方をあわせると、1方は3の倍数、片方は2の倍数。
だからabは6の倍数

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/02/15 15:02

ピタゴラス数の特徴の一つとして、aかｂのどちらかは偶数というのがあります。

https://okwave.jp/qa/q1039599.html
なので、abは６の倍数になります。