数学 積分 ∫e^(-x)sinxdx [x=0, infinite]

∫e^(-x)sinxdx [x=0, infinite]
=lim[t->infinite] -(e^-x(sinx-cosx))/2 | x=0, infinite
=lim[t->infinite] -(e^-t(sint -cost))/2
=Infinite

と考えたのですが、どこが間違っていますか？
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ∫e^(-x)sinxdx [x=0, infinite]
  =lim[t->infinite] ∫e^(-x)sinxdx [x=0, t]
  =lim[t->infinite] -(e^-x(sinx-cosx))/2 | x=0, t
  =lim[t->infinite] -(e^-t(sint -cost))/2
  =Infinite

    補足日時：2018/07/18 15:35

• 回答ありがとうございます。
  もう少し詳しくお願いできませんか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/18 15:36

No.5 ベストアンサー 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/18 16:12

∫sinx*e^(-x)dxは２回部分積分すると元に戻ります。

∫sinx*e^(-x)dx
= -cosx*e^(-x) - ∫cosx*e^(-x)dx
= -cosx*e^(-x) - sinx*e^(-x)dx - ∫sinx*e^(-x)dx
従って、
2*∫e^(-x)sinxdx = -e^(-x)*(cosx + sinx)
よって、
∫e^(-x)sinxdx = -(1/2)e^(-x)*(cosx + sinx) + C

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/07/18 17:14

間違っているのは3か所

1.不定積分が間違っている。
cos(x)の符号は+

2.x=0を代入したものの値が消えている。
x=0を代入してもこの関数は0にはなりません。ちゃんと0ではない値を持ちます。

3.infiniteの極限値が間違っている。
e^(-t)が掛けられていますね。これは0に急速に収束します。
sin(t)+cos(t)は有限の値しか持ちませんので、これらの積は0に収束します。

この回答へのお礼

まとまっていてわかりやすかったです。ありがとうございます！

お礼日時：2018/07/18 20:22

No.6 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/18 16:37

補足

この回答へのお礼

わかりやすく助かりました。ありがとうございます

お礼日時：2018/07/18 20:22

No.4 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/18 15:55

No.3です。

御免なさい。-が抜けていました。
(-1/2)e^(-x)*(cosx+sinx) [x=0, infinite]

= 1/2です。

No.3 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/18 15:48

∫e^(-x)sinxdx [x=0, infinite]

= (1/2)e^(-x)*(cosx+sinx) [x=0, infinite]

= 0 - 1/2

=-1/2

No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/18 15:40

先ず、不定積分が違っています。

複雑な関数の不定積分を求めたら、必ず
微分して被積分関数に戻るか調べておきましょう。

F(x)=∫e^(-x)sinxdx
=-(e^-x(sinx+cosx))/2+C

F(0)=-1/2＋C
Lim[x→∞]F(x)=C
I=F(∞)－F(0)＝1/2
となります。

lim[t->infinite] -(e^-t(sint -cost))/2
=0ではなくて、どうしてInfiniteになるのか分かりません。

この回答へのお礼

わかりやすかったです。ありがとうございました！

お礼日時：2018/07/18 20:23

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/07/18 15:19

1行目から 2行目にいくところと, 2行目から 3行目にいくところと, 3行目から 4行目にいくところ.