加法定理の問題

「cos20°×cos40°×cos80°の値を求めよ。」という問題を今しているんですけど。
加法定理を使って考えているんですけど、先の前２つ「cos20°×cos40°」の値を求めたんですけど、「√(3)×cos10°」ここまでしかわかりませんでした。この後の解説お願いします

No.3 回答者： shoo0720 回答日時： 2008/04/19 18:00

まず、cos20°= A と置換します。

ここで、三倍角の公式より
　　　cos60°= 4A^3 － 3A
が成り立ちます。cos60°が1/2であることから、
　　　A^3 － 3/4A = 1/8 ----------(1)
と整理できます。
また、加法定理より、
　　　cos(60+20)°= cos60°cos20°- sin60°sin20°
　　　cos(60-20)°= cos60°cos20°+ sin60°sin20°
が成り立ちます。sin20°>0　に注意して
　　　cos80°= A/2 - √{3(1-A^2)} /2
　　　cos40°= A/2 + √{3(1-A^2)} /2
となります。よって、
　　　cos20°×cos40°×cos80°
　　= A×[A/2 - √{3(1-A^2)} /2]×[A/2 + √{3(1-A^2)} /2]
= A^3 － 3/4A
となります。よって、(1)より値は　1/8　となります。

No.2 回答者： debut 回答日時： 2008/04/19 17:27

積和公式　cosA×cosB={cos(A+B)+cos(A-B)}/2　から

cos20°×cos40°
＝(cos60°＋cos20°)/2
＝(1/2＋cos20°)/2です。

よって、
cos20°×cos40°×cos80°
＝(cos80°/4)＋(cos20°×cos80°)/2

cos20°×cos80°はさらに公式で(cos100°＋cos60°)/2
cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°であることを考慮して
あとは簡単にするのみです。

No.1 回答者： 33550336 回答日時： 2008/04/19 17:21

積→和の公式を使いましょう。

cosA*cosB=1/2(cos(A+B)+cos(A-B))