三角関数・微分の問題です

0≦θ<2πとする。
(1)sinθ-√3cosθ≧-1を満たすθの範囲
(2) (1)で求めたθの範囲に対して、4cos^3θ+3√3cos^2θの最大値と最小値とそのときのθの値を求めよ。
(3)kを実数の定数とする。4cos^3θ+3√3cos^2θ=kかつsinθ-√3cosθ≧-1を満たすθが丁度３個存在するようなkの値の範囲を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/02/19 12:04

0≦θ<2πとする。

(1)sinθ-√3cosθ≧-1を満たすθの範囲

(1/2)sinθ-(√3/2)cosθ≧-1/2

sinθcos(π/3)-cosθsin(π/3)≧-1/2

sin(θ-π/3)≧-1/2

y=sin(θ-π/3)(0≦θ<2π)のグラフを書いてy≧-1/2の範囲を求める。グラフを書けなければこの問題はあきらめたほうがよい。グラフを書くのは実戦で最も大事なことである。それより

π/6≦θ≦3π/2　　　　　　（*）


(2) (1)で求めたθの範囲に対して、4cos^3θ+3√3cos^2θの最大値と最小値とそのときのθの値を求めよ。

t=cosθとおいてｙ＝4cos^3θ+3√3cos^2θ=4t^3+3√3t^2のグラフを書く。(*)より

-1≦t≦√3/2

y=f(t)=4t^2(t+3√3/4),

dy/dt=12t^2+6√3t=12t(t+√3/2)

増減表を作りグラフを書くこと。

極大値＝f(-√3/2)=3√3/4, 極小値＝f(0)=0

このグラフより

ｙの最大値＝15√3, t=√3/2, θ＝π/6

ｙの最小値＝0, t=0, θ＝π/2


(3)kを実数の定数とする。4cos^3θ+3√3cos^2θ=kかつsinθ-√3cosθ≧-1を満たすθが丁度３個存在するようなkの値の範囲を求めよ。

（2)で書いたグラフより

3√3-4≦k≦3√3/4