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自然対数eは何に使えるのですか?eが含まれている関数を微分することはできても、これが何に使えるのかわかりません、何に使えるのか教えてください。

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A 回答 (8件)

こんにちは。

色々と用途はありますよ。

まず、eは「自然対数」ではありません。
「ネイピア数」あるいは「自然対数の底」と呼ばれる定数です。
まー、あなただけでなく、間違える人は結構多いですけれども。

私は学生のときに放射性同位体の半減期の件を習いましたが、
半減期Tを用いるならば、
t秒後の個数 = 初期の個数 × (1/2)^(t/T)
というふうに、1/2 を用いればよく、eを用いる必要はありません。
しかし、微分方程式を解くときには、eを使った計算を経由すると楽に解けます。

No.1さんが挙げられているのは、オイラーの公式と呼ばれるものです。
実用でも非常に有用な式ですが、この世の真理(量子力学)を記述する際には欠かせません。
「実数eの純虚数乗」なので、私は初めて見たとき「なんのこっちゃ」と思いましたが、
sinx、cosx のテイラー展開と e^x のテイラー展開とを見比べると正しいことがわかります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …

あるいは、オイラーの公式には「計算を楽にする」という「ずるい応用」もあります。
「cos(aθ)をθでn回微分した式を書け」
という問題があるとしましょう。
ストレートにやろうとすると、
0回 cos(aθ)
1回 -a・sin(aθ)
2回 -a^2・cos(aθ)
3回 a^3・sin(aθ)
4回 a^4・cos(aθ)
・・・・・
というふうにややこしくなり、やる気がしないですが、
cosθ = 「cosθ + isinθ の実数部分」 = 「e^(iθ) の実数部分」
としてしまえば、
cosθのn回微分 = 「i^n・e^(iθ) の実数部分」
と一発で式が書けます。
私は、仕事で光学を扱ったころ、この「ずるい」計算方法に助けられました。

虚数単位iは電気工学ではjと書きます。
(電気では電流をiと書く習慣があるので、同じにならないように隣の文字を使っているだけです。)
高校物理や工業高校の電気科の交流回路の計算で「jωc」「jωL」というのが出てきますが、
それは、e^(iωt) に関係します。
つまり、高校生は、オイラーの公式や微分方程式を、知らず知らずのうちに利用しています。

科学や工学への応用だけではありません。
eは、金利の計算でも用いられます。第3章をご覧ください。
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/napier.pdf

あと、役に立つ例としては、電気回路の動作速度にかかわる配線遅延の計算です。
これも、私は仕事でよく使いました。
たとえば、こんな単純な回路です。

Eボルト(一定)-------スイッチ------抵抗R---(V)-----|容量C|-------0ボルト

初期(スイッチを入れる前)のRの左右の電位がともに0ボルトだとしましょう。
そして、スイッチをONにしてからVがどのように変化するかを考えます。
すなわち、Eボルトという電圧がVの部分にどのように充電されていくか(伝わるか)です。

抵抗Rの両端のオームの法則は、
E - V = Ri
コンデンサにたまっている電荷Qは
Q=CV
ところが、回路は一本道なのでiはQの時間変化dQ/dtと等しいです。
よって、両辺を微分すれば、
i = dQ/dt = CdV/dt

以上のことから
E - V = RCdV/dt
簡単な微分方程式なのですが、字数制限に引っかかりそうなので、はしょります。
1-V/E = 1/e^(t/RC) = Vの部分の満充電に対する割合
という答えが出ます。
というわけで、時間がRC秒(抵抗と容量の積)だけ経過すると、
満充電に対する割合は、e分の1、
2RC秒後は、e^2分の1
3RC秒後は、e^3分の1
・・・
無限秒後は、e^∞分の1 ⇒ 1 (100%)
となります。
ですので、仕事仲間と回路の話をするとき、よく
「1RC分で2.7分の1」とか、よく言ってました。
抵抗と容量の積である「RC」は「時定数」と呼ばれます。
オームという単位にファラッドという単位を掛け算すると秒という単位になるということでもあります。
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dy/dx = y だけでも、x = at と置けば済む話ですが…


どうせ派生させるなら、関数を一つ咬ませて、
y = exp( f(x) ) とすると面白いです。
科学方面で出会う微分方程式の
かなりの部分が、これで解けます。
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#5様の解答の補足です。



微分方程式 dy/dx=y の解であるというだけでは「そうですか」というだけで終わりになります。
dy/dx=ayと書く方がいいでしょう。

dy/dt=ayと時間変化で考えると具体的になります。
ある量yの変化がその時に存在する量yに比例するという式です。
a>0であれば増える場合、a<0であれば減る場合です。

それ自身が増加、または現象の原因になっている場合です。
自然界には例がたくさんあります。
物理で習う加速度のような場合はその時にいくらの速さで運動しているかに関係ありません。これは外部に原因があるからです。重力のような外部からの力が働いた結果速度の変化が起こります。
でも人口の増加のような現象であればその時の出生数は人口に比例するとしていいはずです。
既に例が上がっている放射性元素の崩壊はその時に存在する原子の数に対して一定の割合で変化が起こるのですから減少率がその時の原子数に比例するということになります。
コンデンサーにたまっている電荷が放電で減少していく場合でも当てはまります。その時たまっている電荷の量に電流は比例するということです。

集団の中に変化の原因がある場合のすべてがこういう風に表現されるとは限りませんが重要な部分を占めていることが分かると思います。

確率分布には指数関数で表されるものが多いです。
分布関数の標準になっている正規分布はe^(ーx^2)の形になっています。
指数関数はf(x)・f(y)=f(x+y)という性質を満たします。これが確率の表現に指数関数が出てくる一つの理由になっています。(対数関数の場合はf(x)+f(y)=f(xy)です。エントロピーはこちらです。)


分子や分子のエネルギー分布はe^(-βE)の形で出てきます。
原子の中での電子の分布を表す表現の中でも指数関数は出てきます。
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定数 e そのものには、たいした意味はありません。


重要なのは、指数関数 e^x です。

この関数は、最も基本的な微分方程式 dy/dx = y の解です。
そのため、この関数を使って、様々な微分方程式の解が構成できるのです。
近代以降の物理では、自然現象の多くが、微分方程式によって記述されます。
だから、No.3 No.4 さんも書いておられるように、
e^x を使って記述される現象が多い という結果になるのです。

e^x などと書くと、初めに e ありきのような印象なので、
微分方程式 dy/dx = y, y(0) = 1 で定義される関数を
y = exp(x) と書きましょう。e は、exp(1) の略記だと思えばよいです。
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自然界の現象でf(x)=e^xを使って表わされるものは極めてたくさんあります。


たとえば黴菌の増殖はその速度(単位時間当たりの増加数)dN/dtは
現在の黴菌の数Nに比例します。この比例係数をpとすると
  dN/dt=pN
これは微分方程式と呼ばれるものですが、解くと
  N=N0e^(px)
N0は観測開始時間(t=0)における黴菌の数です。

逆に減衰と呼ばれる多くの現象は
  R=R0e^(-qt)
で表されます。たとえば放射性物質の崩壊などはこの式に従って減衰していきます。
Rは放射線の強度、R0は観測開始時点の強度、qは崩壊定数と呼ばれ半減期と関係づけられます。
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すべての自然科学に使う数学を支配している数です。



高校以上の数学ではパイ以上に重要な数です。

これのおかげで宇宙や素粒子の世界が出来ています。
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eπi^2=-1


なので 「いいおっぱいの愛人はただ一人」 とおぼえるのに使えるそうです。
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   exp(iΘ)=e^(iΘ)=cosΘ+isinΘ (for i^2=-1)

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Q自然対数の利用法

自然対数eがどのようなものかは沢山の教科書に説明されていますが、どのような場合に利用したくなるか、言い換えれば、どのような場合に便利なのかがいまひとつ分かりません。簡単に具体例をまじえて教えて頂けませんでしょうか?
それと電卓でe^(-2)
はどのように計算するのでしょうか?
つまり
-2=log_eA
のAを知りたいわけですが、どうしたらいいか分かりません。

Aベストアンサー

具体的な意味を知りたいなら↓のURLからどうぞ
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/e/e.htm

自然対数を体感して理解したいなら↓のURLからどうぞ
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/napier/napier2.htm

-2=log_eAを計算すると言う事は
e^A=-2 (^は何条という意味 3^2=9)
を計算するのと同じです。e=2.7182・・・・なので
自分で計算するのはかなり難しいです。後は電卓で計算しましょう。

Qexpという理解できない記号があります。

expという理解できない記号があります。
exp(x) = 2.718 ^ x
までは、わかりましたがこの関数は何の意味があるのか、用途もわかりません。

あと、フリーで関数を入れるとグラフを書くようなソフトはありますか?
y = exp(x)のようなグラフを書かせて、見た目でも理解したいです。

expのプロ?のご意見が聞きたいです。

Aベストアンサー

2.718~x では、ありません。

∫[t=1→x] (1/t)dt という関数に名前をつけて、
log x と書き、自然対数と呼びます。
この log の逆関数を、exp と書き、
指数関数と呼びます。

exp(x・log(a)) のことを a~x と、
exp(1) のことを e と書く慣習です。
したがって、exp(x) = e~x が成立します。

x が自然数の場合、
a~x は、よく知られていますね。

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近似値で e ≒ 2.718281828… であり、
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Q対数変換する意味?

私は数学が苦手な文系大学生です。最近「地域分析」という本を読んでいるのですが、たびたび数式を「対数変換すると・・・」と言う風に話が進みます。対数変換をすることの意味がわからないので内容が理解できません。

まず、対数変換とは何なのか?対数変換を行なうと何がどのように変わるのでしょうか?
また、一般的に対数変換とはどのような目的で行なわれるのでしょうか?

ということを文系の学生にわかりやすく教えていただけないでしょうか。
対数変換の内容を理解していないため、質問が的を得ていないかもしれませんが、よろしくお願いします。(また、ここで説明できるような内容でなければ、その旨をお伝えください。)

Aベストアンサー

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

このように表現すると、正の数値で1以下の小数から
万や億などの非常に大きい値に散らばる数値サンプルを
整理したり表現するのに非常に便利です。

また、対数にしてグラフを作ると、上記のように非常に
大きな数(または0.00000・・・・のように非常に小さい数)
を限られた紙面上でプロットする事ができます。
もしそのプロットした結果が直線になった場合、
その直線の傾きでサンプルの近似式を導き出すこともできます。

具体的例を挙げると、身近なものではpH値。
これはある液体の単位量あたりどのくらい水素イオンが
含まれるかを対数表現したものです。
(厳密には、モル濃度で表した水素イオン濃度の逆数の常用対数)

まとめると、対数は小数から数万・億などの広範囲に散らばる
数値を整理するために使われる道具とお考えになられたら
良いと思います。

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

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Qネピア e は 日常生活でどんな関係があるのか

何回も数学書を読んでもまったく分かりません。
グラフでY=a^(x)や接線だの、三角形の底辺だの言われてもまったく理解できなかった。
たぶん、日常生活とのかかわりがわからないからかも。
そこで、この e という概念が 具体的に どのように この社会を助けているのか、5個くらい例を挙げて教えていただけないでしょうか?
今、自然対数というものについて、理解しようとしていますが、助けてください -------

Aベストアンサー

「日常生活に役立つ」ということで、どこまでのことを想定してるかによると思いますが、Ano5への回答へのお礼の中で、「日常生活の中でナントカ乗などの式を使いません」とあるので、質問者さんの想定する「日常生活」は
「ナントカ乗などの式は使わない日常生活」と仮定して回答します。
もし「ナントカ乗などの式は使わない日常生活」であればeは別に役にたたないと思います。
 これが、たとえば、エンジニアだったり科学者だったりすれば、eはなくてはならないでしょうし、どうなくてはならないか?は他の方が既に説明してるとおりです。
 もし仮にeがなかったら、非常に簡単な数学の問題が解けない。
たとえば、もっとも簡単な微分方程式が解けないでしょう。
その影響はとてつもないです。たとえば、化学反応の計算はできないので、
薬の設計は出来ない、化学製品は製造できない。
あるいは、簡単な電子回路の解析もできない。ほとんどすべての電気製品は
存在できなかったでしょう。
電車が曲がれないどころか、電車など発明されなかったでしょう。
というか、電磁気学の理論もないでしょうから、電話もないし。
熱機関の設計もできないので、蒸気機関の発明もなかったかもしれません。
きっと産業革命以前の生活をしてることでしょう。

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Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q自然対数の底 e を持つ対数の計算方法はどうやるんですか?

自然対数の底 e を持つ対数の計算方法はどうやるんですか?
例えば、log(7/6)や、log5などを例にして教えて下さい!

Aベストアンサー

一般的には、関数電卓で求めるのが、もっとも簡単かつ正確かつ速いです。

自然対数表から求める方法もあります。
http://www.piclist.com/images/www/hobby_elec/logarithm.htm
log(7/6) = log(7) - log(6) ≒ 1.94591 - 1.79176

また、低の変換をして、常用対数にしてから、常用対数表を用いる方法もあります。
log(5) = log_10(5)/log_10(e) ≒ 0.69897 / 0.43236
(ただ、この場合e ≒ 2.7としたので、精度はよくない)

Qネイピア数 e が導入された、そもそもの理由は?

数学でネイピア数、もしくは自然対数の底といわれている数学定数 e がありますが、これが導入された背景は何なのでしょうか?
この定数を導出する定義式とか、e^xは微分しても元と同じになるなどの、定義や性質に関してではなく、

何のために”当初”導入されたのかを知りたいです。

どうか教えてください!

Aベストアンサー

「ジョン・ネイピア」は対数を考案した人で、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2

に補足してみます。

 そこに10^7云々が出てきますが、(1ー10^(-7))^(10^7)は、e^x=lim[n→∞](1+x/n)^nで、∞に至る前、n=10^7とx=-1としたものです。10^7が大きな数なので、e^(-1)=1/eに近い数です。それゆえ、ネイピアの底はeの逆数とされたりします。

 そこまで求めていながら、ネイピア自身はeを基本定数(自然対数の底)として認識することはありませんでした。それを基本定数と認識したのがオイラーで(1736年)、eという命名は、自分の名前Eulerの頭文字を使ったようです。

 その後、eが無理数、さらには超越数と証明されていったことは、ご承知の通りです。e^xの扱いやすさはもちろんのことです。複素数にまで拡張して、非常に便利で強力なことも、ご承知の通りです。

「ジョン・ネイピア」は対数を考案した人で、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2

に補足してみます。

 そこに10^7云々が出てきますが、(1ー10^(-7))^(10^7)は、e^x=lim[n→∞](1+x/n)^nで、∞に至る前、n=10^7とx=-1としたものです。10^7が大きな数なので、e^(-1)=1/eに近い数です。それゆえ、ネイピアの底はeの逆数とされたりします。

 そこまで求めていながら、ネイピア自身はeを基本定数(自然対数の底)として認識することはあ...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Q常用対数を使うと何が便利なんですか?

常用対数の実用性についてわかりやすく教えてください。
特にデシベルとの関連について・・・掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが具体的な例を示していただければありがたいです。

Aベストアンサー

もちろん計算が楽になるという利点がありますが、そもそも対数は比較するためのものです。

 たとえば、私たちがある二つの学校の人数が、ともに10人増えたと言った場合、この二つが同じ意味かというと、そうとは言い切れませんね。
 A校は、昨年10人しかいませんでしたが、B校は1000人の生徒がいました。
 A校は、2倍に増えたのですが、B校は0.1%しか増えていません。

 今年は、お小遣いが10000円増えたといっても、大して喜ばないA君と、逆立ちして喜ぶB君がいる。なぜならA君は先月まで10000円だった、B君は100万円貰っていた。

 では、それぞれの生徒数やお小遣いを対数で表してみると
A校は、1→1.3010  差は0.3010
B校は、3→3.004  差は0.004
A君は、4→4.3010  差は0.3010
B君は、6→6.004  差は0.004
 差を比較するより、何倍になったかを比較するほうが適切なことが分かると思います。A校の思いと、A君の思いは同じことがこれで分かるね

>掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが
 は数学的な意味ですね。
 たとえば10倍したものを1000倍すると、10000倍ですが、対数で考えると1+3=4ですから、10^{4}で10000
 10^{1} * 10^{3} = 10^{1+3} = 10^{4}
 10の倍数だけでなく、すべての数が10^{x}という形で表せる。このあたりは
冪乗 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97 )
対数 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0 )
などで勉強してね。

>特にデシベルとの関連について
 実は、人間の感覚も対数なのです。
 人は、音の大きさは、エネルギーの大きさが10倍になっても2倍になった要に感じる。でないと、1万倍の音を聞いたら頭が壊れてしまう。一万倍になっても4倍の大きさにしか感じない。
 明るさだって、光子一個でも感じることができるのに、それが数億個になっても、目が焼ききれない。


 

もちろん計算が楽になるという利点がありますが、そもそも対数は比較するためのものです。

 たとえば、私たちがある二つの学校の人数が、ともに10人増えたと言った場合、この二つが同じ意味かというと、そうとは言い切れませんね。
 A校は、昨年10人しかいませんでしたが、B校は1000人の生徒がいました。
 A校は、2倍に増えたのですが、B校は0.1%しか増えていません。

 今年は、お小遣いが10000円増えたといっても、大して喜ばないA君と、逆立ちして喜ぶB君がいる。なぜならA君...続きを読む


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