数学と物理学などでの、微分方程式の扱いの違い

物理学など、工学も含めてですが、微分方程式を考える時に、
・どの空間の範囲か
・どの関数空間か
とかはあまり考えずに、とりあえずその微分方程式を満たす関数が見つかればよい、という感じですが、どこの関数空間で考えているか、とか気にしないでもいいものでしょうか？

No.3 回答者： masa2211 回答日時： 2023/04/16 10:51

工学の微分方程式もアリなの？　それなら書かせてもらいます。

河川や水路の水位を計算する方法はいくつかあるけど、2番目に簡単（＝モデル化時の割切りの程度が2番目に割り切っている）な1次元不等流の場合。

具体的な微分方程式はこちら。
https://river.ceri.go.jp/contents/uploads/docs/s …

うん、式（特定の隣接2断面に限定）を解くと、常流解、射流解の2つがあるんだよね。
※常流、射流などの用語は、自分で調べてください。

常流解、射流解どちらを使うか、については、特定の隣接2断面の上下流の状況から考える、としか言えないし、時には計算全区間にわたり常流解、射流解の2つがあって、かつ、現実の水路では途中で常流解、射流解が切り替わる
（切替る位置の計算式も別途存在。ただし、いろいろ条件付きのときのみ）

ですので、
・微分方程式を満たす関数が見つかればよい
はNG。
　※そもそも、通常、関数を見つける面倒なので数値的に解く。
　　河川や水路の断面は場所場所で変わるから、関数求めても意味ない。

更に厄介なこと：
当該PDFの2.10式ですが、ここにあげたパラメータのうち、
ｎ（粗度係数）は、長さがメートルの時に限り定数という性質を持ちます。
　※定数とは、水深が変わっても一定、という意味であり、
　　コンクリ水路と芝張の堤防では値が変わる。

ですので、2.10式は、
・長さがメートルの時を前提として、ｎを決めている
式です。
　※ｎの単位は、m^(-1/3)・s として扱う。そうしないと、次元解析が破綻する。

つまり、
・長さにメートル以外の単位を使うと、ｎも数値が変わり非常に面倒。
　実質、長さに単位はメートルに固定。

関数空間以前に、単位固定の問題があります。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2023/04/09 14:53

数学で言う微分方程式論には詳しくありませんが、物理学で使う微分方程式には様々な条件が付いているわけですから、それらを考慮して行けば関数空間云々は自動的にクリアするのではないかと思います。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/09 13:30

＞・どの空間の範囲か・どの関数空間か とかはあまり考えずに、

それは 無いでしょ。
問題文から 何を求めるのか、
それを求めるには 何で何を微分をするかが 分る筈です。

補足に 具体例を書けば、詳しく解説してくれる方が 居ると思いますよ。