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Cos2θをtanθを使って表すときの式変形を教えてください!

A 回答 (3件)

No.1です。

こちらを先に見ずに、まずは No.1 のヒントでやってみること。頭と手に汗をかかないと、鍛えられません。

tanθ を使え、ということなので、cosθ ≠ 0 とします。

 cos2θ
= cos(θ + θ)
= cosθ *cosθ - sinθ *sinθ
= cos^2(θ) - sin^2(θ)
= [ cos^2(θ) - sin^2(θ) ] / [ cos^2(θ) + sin^2(θ) ]  ←ちょっと技巧的。cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1 だから。
= [ 1 - tan^2(θ) ] / [ 1 + tan^2(θ) ]   ←分母、分子を cos^2(θ) で割る。

技巧的な技を使わずに、地道にやるなら
 cos2θ
= cos(θ + θ)
= cosθ *cosθ - sinθ *sinθ
= cos^2(θ) - sin^2(θ)
= 1 - sin^2(θ) - sin^2(θ)
= 1 - 2sin^2(θ)      (1)
= cos^2(θ) - [ 1 - sin^2(θ) ]
= 2cos^2(θ) - 1      (2)

(1)より
  sin^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] /2
(2)より
  cos^2(θ) = [ 1 + cos2θ ] /2

よって
  sin^2(θ) / cos^2(θ) = tan^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] / [ 1 + cos2θ ]

これを cos2θ について解いて、
  tan^2(θ) + tan^2(θ) * cos2θ = 1 - cos2θ
  ( tan^2(θ) + 1 ) * cos2θ = 1 - tan^2(θ)
∴ cos2θ = [ 1 - tan^2(θ) ] / [ 1 + tan^2(θ) ]
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この回答へのお礼

ありがとうございました。分かりやすかったです!

お礼日時:2016/06/13 01:41

No.2です。

あら、後半の別解で、式の一部に間違いあり。

正しくは、

 cos2θ
= cos(θ + θ)
= cosθ *cosθ - sinθ *sinθ
= cos^2(θ) - sin^2(θ)   (3)
= 1 - sin^2(θ) - sin^2(θ)
= 1 - 2sin^2(θ)      (1)

また、(3)は次のようにも書けます。
 cos^2(θ) - sin^2(θ)
= cos^2(θ) - [ 1 - cos^2(θ) ]    ←この式が間違ってました。
= 2cos^2(θ) - 1      (2)


(1)より
  sin^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] /2
(2)より
  cos^2(θ) = [ 1 + cos2θ ] /2

よって
  sin^2(θ) / cos^2(θ) = tan^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] / [ 1 + cos2θ ]

これを cos2θ について解いて、
  tan^2(θ) + tan^2(θ) * cos2θ = 1 - cos2θ
  ( tan^2(θ) + 1 ) * cos2θ = 1 - tan^2(θ)
∴ cos2θ = [ 1 - tan^2(θ) ] / [ 1 + tan^2(θ) ]
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cos2θ を、まず θ の式に直す。



その上で、tanθ = sinθ / cosθ であることを使う。

まずは、これでやってみて。
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