No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1です。
こちらを先に見ずに、まずは No.1 のヒントでやってみること。頭と手に汗をかかないと、鍛えられません。tanθ を使え、ということなので、cosθ ≠ 0 とします。
cos2θ
= cos(θ + θ)
= cosθ *cosθ - sinθ *sinθ
= cos^2(θ) - sin^2(θ)
= [ cos^2(θ) - sin^2(θ) ] / [ cos^2(θ) + sin^2(θ) ] ←ちょっと技巧的。cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1 だから。
= [ 1 - tan^2(θ) ] / [ 1 + tan^2(θ) ] ←分母、分子を cos^2(θ) で割る。
技巧的な技を使わずに、地道にやるなら
cos2θ
= cos(θ + θ)
= cosθ *cosθ - sinθ *sinθ
= cos^2(θ) - sin^2(θ)
= 1 - sin^2(θ) - sin^2(θ)
= 1 - 2sin^2(θ) (1)
= cos^2(θ) - [ 1 - sin^2(θ) ]
= 2cos^2(θ) - 1 (2)
(1)より
sin^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] /2
(2)より
cos^2(θ) = [ 1 + cos2θ ] /2
よって
sin^2(θ) / cos^2(θ) = tan^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] / [ 1 + cos2θ ]
これを cos2θ について解いて、
tan^2(θ) + tan^2(θ) * cos2θ = 1 - cos2θ
( tan^2(θ) + 1 ) * cos2θ = 1 - tan^2(θ)
∴ cos2θ = [ 1 - tan^2(θ) ] / [ 1 + tan^2(θ) ]
No.3
- 回答日時:
No.2です。
あら、後半の別解で、式の一部に間違いあり。正しくは、
cos2θ
= cos(θ + θ)
= cosθ *cosθ - sinθ *sinθ
= cos^2(θ) - sin^2(θ) (3)
= 1 - sin^2(θ) - sin^2(θ)
= 1 - 2sin^2(θ) (1)
また、(3)は次のようにも書けます。
cos^2(θ) - sin^2(θ)
= cos^2(θ) - [ 1 - cos^2(θ) ] ←この式が間違ってました。
= 2cos^2(θ) - 1 (2)
(1)より
sin^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] /2
(2)より
cos^2(θ) = [ 1 + cos2θ ] /2
よって
sin^2(θ) / cos^2(θ) = tan^2(θ) = [ 1 - cos2θ ] / [ 1 + cos2θ ]
これを cos2θ について解いて、
tan^2(θ) + tan^2(θ) * cos2θ = 1 - cos2θ
( tan^2(θ) + 1 ) * cos2θ = 1 - tan^2(θ)
∴ cos2θ = [ 1 - tan^2(θ) ] / [ 1 + tan^2(θ) ]
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