
cos66°やsin3°など、3の倍数の角度なら、複雑にはなるにしても、根号と四則演算で表すことが出来ます。しかし、cos40°といった3の倍数でないものがきた場合、和と積の変換公式を何度用いても、その値が導けません。そこで、半径1の円に内接する正九角形の一辺の長さxを求め、余弦定理を用いることによって、cos40°の値を求めようとしたのですが、その一辺の長さxを求めるにはどうしても三次方程式を解かなければならないことが分かりました。そのxが求まれば、数学的には全ての整数角のsin、cos、tanの値が求まることになります。何度も解くのに挑戦してみましたが、時間が過ぎていくだけでした。その三次方程式が次のものです。解xを教えて頂けないでしょうか。
(ちなみに近似値を小数で図形から求めるとx=0.684になりました。)
x^3-3x+√3=0
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
3次方程式の解の公式(カルダノの公式)を利用すれば、解の表示はできます。
たとえばwiki(参考URL)をご利用ください。求めるといっても、複素数の立方根が混じった式であるので、あまりありがたみはないかも知れません。これ以上の還元はできないのでこれで満足するぐらいでしょうか。ちなみに上記の3次方程式は3つの実数解をもち、それぞれ、1/((i-√3)/2)^{1/3}+((i-√3)/2)^{1/3}
-(1-i√3)/(2^{2/3}(i-√3)^{1/3})-((i-√3)/2)^{1/3}(1+i√3)/2
-((i-√3)/2)^{1/3}(1-i√3)/2-(1-i√3)/(2^{2/3}(i-√3)^{1/3})
です。近似値を出しておくと上から順に
1.2855752194
0.6840402867
-1.9696155060
となるようです。蛇足ですが、
Cos[40°]=(((-1-i√3)/2)^{1/3}+((-1+i√3)/2)^{1/3})/2
です。3乗根は決して外れません。したがって定規とコンパスで40°を作図することは不可能です。同様の理由で正9角形も作図不可能です。分度器使うのをご法度とすれば、ってことですが。なお、上のようにCos[40°]がかけることは作図をすればすぐにわかります。偏角は-π~πにあると思って1/3倍してください。実はもっと解りやすくいうと、1の9乗根Cos[40°]+iSin[40°]をxとおいたとき、(x+x^)/2がCos[40°]である、と書いてあるだけです。x^はxの複素共役だと思ってください。その意味で、これを読んだらshu17さんはがっかりされるかも知れませんね。
いずれにせよ、3の倍数でない整数度の三角比は、根号と四則演算だけで表示することは不可能です。大学レベルのガロア理論を学べば証明もできます。そして、四則演算とベキ根(平方根だけでなく、立方根や5乗根、7乗根など)も用いてよいのなら表すことができる、というわけです。ちなみに整数度の場合は、平方根と立方根と四則演算だけですべて三角比は表示できます。たとえばCos[40°]は上に書いたように表示できるわけです。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1% …
No.2
- 回答日時:
関数電卓で求めるとcos40°の値は0.766…になります。
自力で求めるにはマクローリン展開を計算したほうが早いのでは?
それと一辺の長さxとはどの長さでしょうか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開に関して 以外の「」の解答を頂き
- 数学の質問です。 円に内接する四角形ABCD において, AB=2, BC = 1, CD = 3,
- 数学3の微分法・対数関数の導関数に関しての質問です。 [ ] は絶対値を表しています。 y=log[
- 極座標A(2,π/6)となる点を通り、OAに垂直な直線lの曲方程式を求めよ という問題を直交座標を利
- 線形代数の行列についての問題がわからないです。
- 円周の近似値について。 次の方法で円周の近似値を求めました。 1.中心角が360/nの扇形を考える。
- 高2 数2
- 写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せる
- 数2Bの数列の問題です。 自分は、 まず数列 an=ar^(n-1)と置き こちらの問題の、y= の
- 三角形の辺の長さを求める問題で余弦定理で二次方程式を解いた時に答えが2つでてしまってどちらも正なので
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
高一数学 〔 授業プリント No.4...
-
微分
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
積分
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
三角関数で、
-
cosθやsinθを何乗もしたものを...
-
cos60°が、なぜ2分の1になるの...
-
cos(2/5)πの値は?
-
複素数の極形式のマイナスがつ...
-
フーリエ級数|cosx|
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
加法定理
-
三角比の問題を教えて下さい
-
極座標の偏微分について
-
cos2, cos3, cos4 の大小をくら...
-
cos²140°=cos²40°になる理由が...
-
cos^2x/2の積分のやり方を教え...
-
複素数の実部と虚部
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
フーリエ級数|cosx|
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
第2問の(2)で質問なのです。 ...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
数学で円に外接している四角形...
-
自然対数eは何に使えるのですか...
-
cos60°が、なぜ2分の1になるの...
-
三角関数
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
積分
-
三角関数で、
-
cos(2/5)πの値は?
-
Σは二乗されないのですか?
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
【数学】コサインシータって何...
-
複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす...
-
加法定理
-
長方形窓の立体角投射率
おすすめ情報