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cos66°やsin3°など、3の倍数の角度なら、複雑にはなるにしても、根号と四則演算で表すことが出来ます。しかし、cos40°といった3の倍数でないものがきた場合、和と積の変換公式を何度用いても、その値が導けません。そこで、半径1の円に内接する正九角形の一辺の長さxを求め、余弦定理を用いることによって、cos40°の値を求めようとしたのですが、その一辺の長さxを求めるにはどうしても三次方程式を解かなければならないことが分かりました。そのxが求まれば、数学的には全ての整数角のsin、cos、tanの値が求まることになります。何度も解くのに挑戦してみましたが、時間が過ぎていくだけでした。その三次方程式が次のものです。解xを教えて頂けないでしょうか。
 (ちなみに近似値を小数で図形から求めるとx=0.684になりました。)

 x^3-3x+√3=0

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A 回答 (3件)

3次方程式の解の公式(カルダノの公式)を利用すれば、解の表示はできます。

たとえばwiki(参考URL)をご利用ください。求めるといっても、複素数の立方根が混じった式であるので、あまりありがたみはないかも知れません。これ以上の還元はできないのでこれで満足するぐらいでしょうか。ちなみに上記の3次方程式は3つの実数解をもち、それぞれ、

1/((i-√3)/2)^{1/3}+((i-√3)/2)^{1/3}
-(1-i√3)/(2^{2/3}(i-√3)^{1/3})-((i-√3)/2)^{1/3}(1+i√3)/2
-((i-√3)/2)^{1/3}(1-i√3)/2-(1-i√3)/(2^{2/3}(i-√3)^{1/3})

です。近似値を出しておくと上から順に

1.2855752194
0.6840402867
-1.9696155060

となるようです。蛇足ですが、

Cos[40°]=(((-1-i√3)/2)^{1/3}+((-1+i√3)/2)^{1/3})/2

です。3乗根は決して外れません。したがって定規とコンパスで40°を作図することは不可能です。同様の理由で正9角形も作図不可能です。分度器使うのをご法度とすれば、ってことですが。なお、上のようにCos[40°]がかけることは作図をすればすぐにわかります。偏角は-π~πにあると思って1/3倍してください。実はもっと解りやすくいうと、1の9乗根Cos[40°]+iSin[40°]をxとおいたとき、(x+x^)/2がCos[40°]である、と書いてあるだけです。x^はxの複素共役だと思ってください。その意味で、これを読んだらshu17さんはがっかりされるかも知れませんね。

いずれにせよ、3の倍数でない整数度の三角比は、根号と四則演算だけで表示することは不可能です。大学レベルのガロア理論を学べば証明もできます。そして、四則演算とベキ根(平方根だけでなく、立方根や5乗根、7乗根など)も用いてよいのなら表すことができる、というわけです。ちなみに整数度の場合は、平方根と立方根と四則演算だけですべて三角比は表示できます。たとえばCos[40°]は上に書いたように表示できるわけです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1% …
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この回答へのお礼

三次方程式にも解の公式があったのですね。それを知ることが出来ただけでも大きな進歩です。ありがとうございました!

お礼日時:2006/03/22 14:15

 関数電卓で求めるとcos40°の値は0.766…になります。



 自力で求めるにはマクローリン展開を計算したほうが早いのでは?

 それと一辺の長さxとはどの長さでしょうか。

この回答への補足

正九角形の一辺の長さのことです。それをxとおいて方程式をたてると、上の三次方程式が出てきたのです。

補足日時:2006/03/22 14:18
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求め方自体は簡単です。



θ=40°=(2π)/9であるから、3θ=(2π)/3。
両辺のcosをとると、cos3θ=-1/2.
3倍角の公式を使うと、cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ=-1/2。
後は、8(cosθ)^3-6cosθ+1=0を解くだけですが。。。。。簡単じゃないですね。
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この回答へのお礼

やっぱり難しいのですね。でも参考になりました。

お礼日時:2006/03/22 14:22

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