
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
基本中の基本として、
媒介変数を消去した式は、十分性を欠く可能性があります。
二乗したら云々の話ではなく、θ を消去したら、
得られた曲線の全体が軌跡であるかどうかを
確認しなくてはいけません。
軌跡は、得られた曲線の一部だけかもしれません。
例えば、
x = cos θ
y = sin θ
0≦θ≦π/6
のとき、貴方の解法がどうなるか考えてみましょう。
θ を消去しただけの式が必要十分でないのは、
二乗したことが原因ではありませんね?
さて、質問の例に戻って、
y^2 = 4x^2(1-x^2) 全体が解であることを示すには、
この曲線上の (x,y) について対応する θ が常に存在すること
を示せばよいです。
y^2 ≧ 0 より 4x^2(1-x^2) ≧ 0 となって 0 ≦ x^2 ≦ 1。
-1 ≦ x ≦ 1 より x = cos θ (-π ≦ θ ≦ π) と表す
θ は存在します。これを y^2 = 4x^2(1-x^2) に代入すると
y = sin(2θ) になることを示せば、完了です。
ひとつの x にふたつの θ が対応しますが、そのことが
y の符号にどう影響するのか理解できれば ok でしょう。
No.1
- 回答日時:
sin2θ=2sinθcosθ=±√(1-cos^2θ)*(2cosθ)ですが
θが[-π、π]にあるので、sinθは[-π, 0]でマイナス、[0, π]でプラスを取るので
プラスもマイナスも軌跡に含まれます
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