媒介変数で表わされた関数のグラフ

曲線{x=cosΘ(-π<=Θ＜=π)の概形を書け（凹凸は調べなくてよい。）
　　　y=sin2Θ
基本はΘの消去。y^2=sin^2Θ=4sin^2Θcos^2Θ=4(1-cos^2Θ)cos^2Θから
y^2=4x^2(1-x^2)となり、概形を書くことができる。

教えてほしいところ
両辺正でないと２乗したら同値性崩れますよね？？？
今回、２乗したのにもかかわらず、同値性が崩れないといえる理由を説明してほしいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/19 22:22

基本中の基本として、

媒介変数を消去した式は、十分性を欠く可能性があります。

二乗したら云々の話ではなく、θ を消去したら、
得られた曲線の全体が軌跡であるかどうかを
確認しなくてはいけません。
軌跡は、得られた曲線の一部だけかもしれません。
例えば、
　　x = cos θ
　　y = sin θ
　　0≦θ≦π/6
のとき、貴方の解法がどうなるか考えてみましょう。
θ を消去しただけの式が必要十分でないのは、
二乗したことが原因ではありませんね？

さて、質問の例に戻って、
y^2 = 4x^2(1-x^2) 全体が解であることを示すには、
この曲線上の (x,y) について対応する θ が常に存在すること
を示せばよいです。

y^2 ≧ 0 より 4x^2(1-x^2) ≧ 0 となって 0 ≦ x^2 ≦ 1。
-1 ≦ x ≦ 1 より x = cos θ (-π ≦ θ ≦ π) と表す
θ は存在します。これを y^2 = 4x^2(1-x^2) に代入すると
y = sin(2θ) になることを示せば、完了です。
ひとつの x にふたつの θ が対応しますが、そのことが
y の符号にどう影響するのか理解できれば ok でしょう。

No.1 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/06/19 20:28

sin2θ=2sinθcosθ=±√(1-cos^2θ)*(2cosθ)ですが

θが[-π、π]にあるので、sinθは[-π, 0]でマイナス、[0, π]でプラスを取るので
プラスもマイナスも軌跡に含まれます