微分方程式の微分演算子による解法

来月上旬に大学院入試を受けるので、それに向けて現在勉強中です。
微分方程式で分からない問題があったので教えてください。
特に微分演算子を用いた解法に従って解く方法を教えていただければと思います。
（それ以外の解き方も参考になるので教えていただけたら助かります。）

問題は

(1) (D^4+2D^2+1)y=x*sin(x)
(2) y'''-2y'+4y=(e^x)*cos(x)

Dy=y'=dy/dxです。

私の持っている本では、定係数非同次線形常微分方程式をΦ(D)y=f(x)と表したときに、Φ(D)が既約実2次式を持つ場合、非同次項f(x)が
・多項式
・e^(ax)
・cos(ax)
・sin(ax)
の場合のみについて解説してあり、上記のような項についての計算がわからなかったので質問させていただきました。

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2012/07/22 11:04

(1) (D^4+2D^2+1)y=x・sin(x)

(2) y'''-2y'+4y=(e^x)・cos(x)

(1) D^4+2D^2+1 = (D-i)^2・(D+i)^2 (・は掛け算の意)
余関数はy1 = (a1+a2・x)・cosx＋(b1+b2・x)・sinx
特殊解y2は
y2 = x・sin(x)/(D^4+2D^2+1) = x・sin(x)/(D^2+1)^2
= 1/2・(sinx・∫{cosx・xsinx{dx－cosx・∫{sinx・xsinx}dx)
－1/2・(cosx・∫{∫{cosx・xsinx}dx}dx) + sinx・∫{∫{sinx・xsinx}dx}dx)
面倒なので後は計算してみて・・・！
一般解 = 余関数＋特殊解 だから
y = y1＋y2

(2) (D^3－2D＋4)y = (e^x)・cos(x)
(D^3－2D＋4) = (D+2)(D^2-2D+2) D = -2,1±i
余関数y1は
y1 = c1・e^(-2x)＋e^x・(c2・sinx＋c3・cosx)
特殊解y2は
y2 = (e^x)・cos(x)/(D^3－2D＋4)
= 1/10・(1/(D+2)－(D-4)/(D^2-2D+2)) ・(e^x)・cos(x)
= 1/10・(1/(D+2)－D/((D-1)^2+1)＋4・(1/((D-1)^2+1))・(e^x)・cos(x)
= 1/10・｛e^(-2x)・∫{e^(2x)・(e^x)・cos(x)}dx
－(e^x・{(sinx＋cosx)・∫{e^(-x)cosx・(e^x)・cos(x)}dx－(cosx－sinx)・∫{e^(-x)sinx・(e^x)・cos(x)}dx})
＋4・(e^x・sinx・∫{e^(-x)・cosx・(e^x)・cos(x)}dx－e^x・cosx・∫{e^(-x)・sinx・(e^x)・cos(x)}dx)｝
面倒なので後は計算してみて・・・！
y = y1＋y2
　　

この回答への補足

回答ありがとうございます。
式変形を丁寧に書いていただきありがたいのですが
(1)の
y2 = x・sin(x)/(D^4+2D^2+1) = x・sin(x)/(D^2+1)^2
= 1/2・(sinx・∫{cosx・xsinx{dx－cosx・∫{sinx・xsinx}dx)
－1/2・(cosx・∫{∫{cosx・xsinx}dx}dx) + sinx・∫{∫{sinx・xsinx}dx}dx)

と(2)の
1/10・(1/(D+2)－D/((D-1)^2+1)＋4・(1/((D-1)^2+1))・(e^x)・cos(x)
= 1/10・｛e^(-2x)・∫{e^(2x)・(e^x)・cos(x)}dx
－(e^x・{(sinx＋cosx)・∫{e^(-x)cosx・(e^x)・cos(x)}dx－(cosx－sinx)・∫{e^(-x)sinx・(e^x)・cos(x)}dx})
＋4・(e^x・sinx・∫{e^(-x)・cosx・(e^x)・cos(x)}dx－e^x・cosx・∫{e^(-x)・sinx・(e^x)・cos(x)}dx)｝

この2つの式変形が分かりません。
どうやら私の持っている教科書は微分演算子法に関してかなり省いて書いてあるようです。
詳しい解説のあるサイト等でもよいので、すみませんがもう少し詳しくお願いします。

補足日時：2012/07/23 02:25