cosΘの問題

『Θ=2π/7のとき
cosΘ,cos2Θ,cos3Θを解に持つ、係数がすべて整数である
xの3次方程式を求めよ。』
解と係数の関係で解こうとしましたがうまくいきませんでした。
お助けお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2007/08/14 02:40

高校生の範疇ですと、やはり＃３さんの解答になるんでしょうね。

この問題には、多分、「cos3θ ＝ cos4θになることを示せ」という、誘導問題とがあったのでは？
で、＃３の説明に補足させていただきます。参考まで。

ちょっとだけ具体的に解いてみると、
cosθ = t とおくと、cos2θ = 2t^2 - 1、cos3θ = 4t^3-3t、cos4θ = 8t^4-8t^2+1 はいいですよね。
で、cos3θ=cos4θ より、
8t^4 - 4t^3 - 8t^2 + 3t + 1 = 0
(t-1)(8t^3 + 4t^2 - 4t - 1) = 0
θ≠0よりt≠1、∴ 8t^3 + 4t^2 - 4t - 1 = 0 ・・・（１）
が導かれますね。
で、（１）をt=cosθに関する方程式と見た場合なんですが、＃３さんもおっしゃっているように、方程式（１）の解は、cosθ、cos2θ、cos3θになります。
一般的に、cos nθ ＝ cos((n+1)θ) が成立するとき、
n θ　＝　m π　- α　　　・・・（２）
(n+1) θ ＝　mπ + α　　・・・（３）
となっていますね（mは整数、αは実数）。このとき、（２）と（３）よりθ = 2mπ/(2n+1) です。この問題は、m=1,n=3として作られた問題なんですね。
ここで、（２）と（３）それぞれの両辺を整数倍（p倍）してもいいわけで、
n(p θ)　＝　pm π　- pα
(n+1) (pθ) ＝　pmπ + pα
ですから、cos(n(pθ)) = cos((n+1)(pθ))が必ず成立する。ってことで、cos 3θ = cos4θのときは、θ'=2θ、3θのときもcos 3θ' = cos4θ'が成り立ち、一般的に、cos(nθ)=cos((n+1)θ)なら、θ'=0,2θ,3θ,4θ,・・・nθで、cos(nθ')=cos((n+1)θ')が成立します。
ということで、cos(nθ')=cos((n+1)θ')の関係から（１）のようなcosθに関する方程式を作ると、その方程式の解は、cosθと共に、cos0とcos2θ,cos3θ,・・・cos(nθ)を解として持つことになります。

こういう話を知らなかった、気づかなかったとしましょうか。
しかし、cos3θ = cos4θの関係から、cosθ = t として、
8t^3 + 4t^2 - 4t - 1 = 0
までは導けたとしましょう。これを方程式としてみるのではなく、tが満足している式だと考えます。
そうしたら、質問者が試してみたように、解と係数の関係を全てtで現してみてください。そして、得られた値（tに関する式）を、8t^3 + 4t^2 - 4t - 1 で割ってその余りを調べてみると定数になるはずです。くどいようですが、8t^3 + 4t^2 - 4t - 1 = 0ですから、結局、解と係数の関係から導かれる値はすべて定数で与える事ができます。それを整式になおすと、結局、8t^3 + 4t^2 - 4t - 1 = 0という方程式が得られます。ただ、解けたら解けたで？？？な状態になるでしょうね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
前の問題ににcos3θ=cos4θの証明がありました。説明不足でした。すいません。
(1)の解がどうしてcosθ、cos2θ、cos3θになるのかわかりません。

お礼日時：2007/08/14 14:46

No.10 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/14 20:02

ANo.10です。

すみません、ミスプリありました。

（誤）x^2の係数は
→（正）x^0の係数は

です。

あと途中で最後の項の符号を打ち間違ってます。

一番最初に展開したところの式は、

x^3 - (cosθ+cos2θ+cos3θ) x^2
+ (cosθ cos2θ + cos2θ cos3θ + cos3θ cosθ) x
- cosθ cos2θ cos3θ = 0

で、(5)式も

x^3 - A x^2 + A x - (A+1)/4 = 0 … (5)

が正しいです。どちらも最後の項の符号を+に書いてました。

No.9 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/14 19:46

こんにちは。

高校の範囲の知識を使い、できるだけ素直な方法で解いてみますね。


cosθ, cos2θ, cos3θ

が解になっている3次方程式は、

(x-cosθ)(x-cos2θ)(x-cos3θ) = 0 …(1)

で、展開すると、

x^3 - (cosθ+cos2θ+cos3θ) x^2
+ (cosθ cos2θ + cos2θ cos3θ + cos3θ cosθ) x
+ cosθ cos2θ cos3θ = 0

ですね。


7θ=2π という便利な式と、cos(-x) = cos(x) を念頭において、

cosα cosβ = (1/2) [ cos(α+β) + cos(α-β)]

を使います。


x^1の係数は

cos θ cos 2θ = (1/2) [ cos3θ + cosθ] … (2)
cos 2θ cos 3θ = (1/2) [ cos5θ + cosθ] = (1/2) [ cos2θ + cosθ] … (3)
cos 3θ cos θ = (1/2) [ cos4θ + cos2θ] = (1/2) [ cos3θ + cos2θ] … (4)

より三つ足して、cosθ+cos2θ+cos3θ になります。


x^2の係数は、

cosθcos2θcos3θ = (1/2) cosθ [ cos2θ + cosθ]
= (1/2) [ (1/2) ( cos3θ + cosθ ) + (1/2) ( cos2θ + 1) ]
= (1/4) [cosθ+cos2θ+cos3θ] + 1/4

になります。

要するに

A = cosθ+cos2θ+cos3θ

とおくと、(1) は、

x^3 - A x^2 + A x + (A+1)/4 = 0 … (5)

になります。

ところで、A = - 1/2 を示すことができます。

実際、(2)と(4)を用いて、

cosθ A
cosθ (cosθ+cos2θ+cos3θ)
= (cos 2θ+1)/2 + (1/2) [cos3θ + cosθ] + (1/2) [cos3θ + cos2θ]
= 1/2 + (1/2)cosθ + cos2θ + cos3θ
= (1-cosθ)/2 + A

が示せるので、A = [(1-cosθ)/2]/[cosθ-1] = -1/2 です。

故に、(5)式は

x^3 + (1/2) x^2 - (1/2) x - 1/8 = 0

従って、整数が係数の方程式

8 x^3 + 4 x^2 - 4 x - 1 = 0

が求まります。




[別解]

途中までは一緒ですが、A = -1/2 を別の方法で示してみます。

単位円上の正7角形の位置に点をうちます。
その7つの座標は、

(1,0)
(cosθ,sinθ)
(cos2θ,sin2θ)
(cos3θ,sin3θ)
(cos4θ,sin4θ) = (cos3θ,-sin3θ)
(cos5θ,sin5θ) = (cos2θ,-sin2θ)
(cos6θ,sin6θ) = (cosθ,- sinθ)

になります。

対称性より、その重心は(0,0)になることは明らかです。
（その点以外が重心とすると複数の等価な点があるので矛盾します。）

従って、それらのベクトルの和のx座標は、

1 + 2 cosθ + 2 cos2θ + 2 cos3θ = 0

となるので、

A = cosθ + cos2θ + cos3θ = -1/2

が成立ちます。

この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございました。

お礼日時：2007/08/15 01:41

No.8 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/08/14 16:16

> (1)の解がどうしてcosθ、cos2θ、cos3θになるのかわかりません。

#3の最後のところで書いたとおりですが、もうちょっとかみ砕いてみます。

cos(3α)=cos(4α)を変形すると(cosα-1)(8cosα^3+4cosα^2-4cosα-1)=0という4次方程式が出来ます。
θ=2π/7のときcos3θ=cos4θ、cos(6θ)=cos(8θ)、cos(9θ)=cos(12θ)が成り立つので（これらはそれぞれ確かめる）、cos(3α)=cos(4α)はα=θ、2θ、3θのとき成り立ちます。また、α=0の時も成り立ちます。
従って、cos(3α)=cos(4α)を変形したcosαの4次方程式はα=0、θ、2θ、3θのとき成り立ちます。すなわち、cosα=cos0、cosθ、cos(2θ)、cos(3θ)を解に持ちます。cos0、cosθ、cos(2θ)、cos(3θ)は異なる実数ですから4次方程式はこれ以外に解を持ちません。cosα≠cos0のとき両辺をcosα-1で割って得られる3次方程式8cosα^3+4cosα^2-4cosα-1=0はcosθ、cos(2θ)、cos(3θ)を解に持つ3次方程式ということになります。cosα=xと置き換えれば8x^3+4x^2-4x-1=0となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。納得です。

お礼日時：2007/08/15 01:40

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/08/14 14:25

がんばって解と係数の関係でいってみる:

x = cos θ, y = cos 2θ, z = cos 3θ とおきます. 必要なのは x+y+z, xy + yz + zx, xyz の 3つ.
・まず x+y+z: これは, (x+y+z) sin θ/2 を計算します. 積和でばらすときれいになって (sin 7θ/2 - sin θ/2)/2 となりますが, θ=2π/7 なので 7θ/2 = π. つまり (x+y+z) sin θ/2 = -sin (θ/2)/2 です. よって x+y+z = -1/2.
・次に xy + yz + zx: こいつは (x+y+z)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx) の関係からいくことにします. 左辺は既に求まっている (ようなもの) なので右辺の x^2 + y^2 + z^2 ですが, ここで倍角の公式から cos^2 θ = (cos 2θ + 1)/2 を使うと, cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ が求まればよいということになります. 7θ = 2π であることと cos の性質から結局 cos θ + cos 2θ + cos 3θ になり, これはもう求まっています.
・最後に xyz: 今度は x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz という式を考えてみます. これは (よく知られているように) (x+y+z) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) となり, もう計算できています. ということで x^3 + y^3 + z^3 なんですが, 3倍角の公式から cos^3 θ = (cos 3θ + 3cos θ)/4 (であってるかな?) となることを使います. でごにょごにょするとまたまた cos θ + cos 2θ + cos 3θ が出てきます.
ほらできた.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
多少汚い式になってしまっても最後までやればできますね。
自分のあきらめの早さに反省です。

お礼日時：2007/08/14 14:48

No.5 回答者： d-l_-b 回答日時： 2007/08/13 19:32

更にいくと、

★
1の7乗根をηとすると、η+1/ηとおく所は
実際にη＝cos(nθ)＋isin(nθ)を代入して計算すると
η+1/η＝cos(nθ)＋isin(nθ)＋１/{cos(nθ)＋isin(nθ)}
=cos(nθ)＋isin(nθ)+cos(nθ)-isin(nθ)
=2cos(nθ) となります。

ｘ^7－1＝０
(x-1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)=0
x≠１として(x-1)でわって
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0
この時点でｘ＝cos(n2π/7)＋isin(n2π/7)　n=1,2,3,4,5,6
3次式にするためにx^3で割ります。
(x^3 + 1/x^3) + (x^2 + 1/x^2) + (x + 1/x) + 1 = 0
分母が邪魔なので
y=x+(1/x)をつかってｙの3次式にします。
★の所の説明のように、虚数のisin(ｎθ)を消すための処理でもありますから、このようにｙをおきます。
計算するとｙの3次式が出ます。
さっきはn=1,2,3,4,5,6と6個も解があったのに、3個だけになるのは変に感じるかもしれませんが、
2cos(n2π/7)
で　n=1とn=6は同じ値です
　　n=2とn=5は同じ値です
　　n=3とn=4は同じ値です
つまり3個しかありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
言われるとわかりますが少し難しいです。

お礼日時：2007/08/14 14:40

No.4 回答者： d-l_-b 回答日時： 2007/08/13 18:55

複素数平面は今の高校生は教科書から削除されているので、知らなくても良いと思います。

(cosθ＋isinθ)^n=cos(nθ)＋isin(nθ) というやつです。
帰納法を使うと
n=1のとき成立
n=kのとき
　(cosθ＋isinθ)^ｋ=cos(kθ)＋isin(kθ)
がなりたつとすると
n=k+1のとき
　(cosθ＋isinθ)^(ｋ+1)
={(cosθ＋isinθ)^ｋ}(cosθ＋isinθ)
={cos(kθ)＋isin(kθ)}(cosθ＋isinθ)
=cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ+i{sin(kθ)cosθ+cos(kθ)sinθ}
=cos(k+1)θ＋isin(k+1)θ
となり成立します。


(cosθ＋isinθ)^n=cos(nθ)＋isin(nθ) でθ＝2兀/7 n=7とすると

(cos2兀/7＋isin2兀/7)^7=cos(2兀)＋isin(2兀) =1
ここから(cos2兀/7＋isin2兀/7)＝ｘとすると
ｘ^7＝1
となり
先の回答の方が言っている
ｘ^7－1＝０が得られます。

No.3 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/08/13 18:42

単位円でθ=2π/7のときのθ、2θ、3θ、4θ、5θ、6θ、7θ．．．を考えると、cos3θ=cos4θであることがわかります。

なので、cos3α=cos4αを解こうとして3倍角や倍角を使ってcosαの4次方程式（cosα=xとおいてxの4次方程式）を作ったとき、その解にx=cosθ=cos(2π/7)があることになります。また、α=0で成り立つのでx=cos0=1も解にあります（なのでこの4次方程式は(x-1)と3次方程式（A）に因数分解できます）。
ここで、この4次方程式の解にcos2θやcos3θもあるのであれば、cosθ、cos2θ、cos3θは異なる数字（1でもない）であることは明らかですから、3次方程式(A)の解はcosθ、cos2θ、cos3θであることになり、この3次方程式は求める方程式ということになります。
そこで、最初の単位円を見るとcos(6θ)=cos(8θ)、cos(9θ)=cos(12θ)であることがわかります。すなわち、cos(3α)=cos(4α)は2θ、3θでも成り立つことがわかり、上で求めた3次方程式の解にはcos2θ、cos3θもあることになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2007/08/14 14:39

No.2 回答者： adinat 回答日時： 2007/08/13 18:37

直接、三角関数の公式を使って計算するのもひとつですが、せっかくだからうまく解いてみましょう。

x^7-1=0の解は1の7乗根ですが、左辺を因数分解して得られる方程式：
1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6=0
の解は1以外の1の7乗根です。これは相反方程式だから、x^3で割って、さらにy=x+1/xとおくと、yの3次方程式を得ます。この解yは1の7乗根をηとすると、η+1/ηで与えられますが、それは2cosΘ,2cos2Θ,2cos3Θになっています。これから求めたい方程式は容易に得られるでしょう。考えてみてください。

ちなみに
cosΘ+cos2Θ+cos3Θ=-1/2
cosΘcos2Θ+cos2Θcos3Θ+cos3ΘcosΘ=-1/2
cosΘcos2Θcos3Θ=1/8
になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
言っていることが理解できません。
高校生でも知っておくべき知識でしょうか？

お礼日時：2007/08/13 18:41

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/08/13 18:32

思い付きで:

Euler の公式からわかるように, そいつらは x^7-1 = 0 の解の実部として現れます. x≠1 を仮定して x-1 で割ると x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0.
これは相反方程式なので x^3 で割ると (x^3 + 1/x^3) + (x^2 + 1/x^2) + (x + 1/x) + 1 = 0.
この左辺を y = x + 1/x で表せば 3次方程式になり, その解は 2cos θ, 2cos 2θ, 2cos 3θ になります (たぶん).
でもこれ, きっと反則なんだろ～な～.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
Eulerの公式がわかりません。
大学では習うのでしょうか？それとも、高校でも知っておくほうがよいのでしょうか？

お礼日時：2007/08/13 18:37