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四角形ABCDのAB,BC,CD.DAの長さ及び対角線AC,BDが分かる場合の対角線の交わる角度を教えてください。簡単なようですが分かりません。

A 回答 (2件)

対角線の交点をEとすると対角線の交わる角度は


∠BEC=∠AED=x, ∠AEB=∠CED=yです。
ここで x+y=π(=180°)です。

x=π-∠EBC-∠ECB
cos(x)=-cos(∠EBC+∠ECB)=sin(∠EBC)sin(∠ECB)-cos(∠EBC)cos(∠ECB) ...(※)
余弦定理より
cos(∠EBC)=cos(∠DBC)=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2BC*BD)
cos(∠ECB)=cos(∠ACB)=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)
sin(∠EBC)=√{1-(cos(∠EBC))^2}=√{4(BC*BD)^2-(BC^2+BD^2-CD^2)^2}/(2BC*BD)
sin(∠ECB)=√{1-(cos(∠ECB))^2}=√{4(BC*AC)^2-(BC^2+AC^2-AB^2)^2}/(2BC*AC)
この4つの三角関数を(※)に代入して arccosをとれば角度x[ラジアン]が求まります。
対角線の角度xの単位はラジアンですが、度数法にするには「180/π」をかけてやれば 度(°)の単位に変換できます。
もう1つの補角の角度yなら y=π-x[ラジアン]で求まります。度(°)単位であれば「180/π」を掛ければ変換できます。
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この回答へのお礼

何とか理解し前進出来ました。ありがとうございます。

お礼日時:2013/12/14 12:40

△CAB、△DBAに夫々余弦定理を適用して


∠CAB、∠DBAを求めれば∠AEBが求まり
ますね(Eは2本の対角線の交点)。

実際の計算はとてもやる気になれませんが。
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Q四角形対角線交差角度

四角形ABCDの対辺長さ(AB,CD)とその対角線長さ(AD,BC)
がわかっているときその対角線の交差する角度を計算する方法を教えてください。

Aベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足の訂正をした場合

辺AB,CD,対角線AC,BDが指定された四角形ABCDについて

条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
ABを基準に、半径は対角線AC,対角線BDの円弧1、円弧2を描くと、C,Dはそれぞれの円弧上に存在します。Dを円弧2上に1つ定めて、半径が対角線CDに等しい円弧3を描き、円弧1との交点をCとします。
Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
すなわち、四角形ABCDと四角形ABC'D'は共に条件を満たす四角形ですが
対角線のなす角は常に∠APB=∠AP'Bとはなりません。

つまり、四角形ABCDの形状は一意に確定しません(異なる形状の四角形ABCDが何通りも作図できます。)
条件を満たす四角形ABCDの対角線の交点をPに対して、∠APB≠一定です。
つまり、条件を満たす異なる四角形ABCDについて対角線の交点Pは、同じ円弧上にない(円周角∠APBが同じではない)ので、∠APBは一定ではない。つまり∠APBは辺AB,BC,対角線AC,BDだけでは求まらないということです。

No.1です。

ANo.1の補足の訂正をした場合

辺AB,CD,対角線AC,BDが指定された四角形ABCDについて

条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
ABを基準に、半径は対角線AC,対角線BDの円弧1、円弧2を描くと、C,Dはそれぞれの円弧上に存在します。Dを円弧2上に1つ定めて、半径が対角線CDに等しい円弧3を描き、円弧1との交点をCとします。
Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
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Q四角形の角度の求め方

ど忘れしたので教えてください!
辺の長さがそれぞれ500,500,500,560mmの鋭角、鈍角の角度の求め方はどうするのでしょうか??

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No2です。

お示しの例では、計算してみると、角CとDはどちらも
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は次のように計算できます。
BD^2=AB^2+AD^2-2×AB×AD×cos(角A)
という余弦定理から、
190^2=140^2+157^2-2×140×157×cos(角A)
36100=19600+24649-43960cos(角A)
43960cos(角A)=8149
cos(角A)=0.189688081・・・
コサインの逆関数から、角A=(約)79°となります。

もし、角CとDが90°と確定しているならば辺や対角線
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答えは0.6435…となりますよね。
これが弧度法(半径1の円の孤の長さで表す角度の表し方)の角度です。弧度法のπ(≒3.14)は180°と等しいですから、この値に180/πをかけてください。

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となります。

答えは、およそ36.87°です。

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