極座標の偏微分について

極座標変換x=rcosθ、y=rsinθしたものの偏微分について、∂x/∂r=cosθは正しいとして、これに対して∂r/∂xを求めたい場合r=x/cosθとしておいて∂r/∂x＝1/cosθとするのが誤りである理由として「xがθと独立ではないから」と聞きますが、この意味がわかりません。
r=x/cosθという式を「xもθも勝手に持ってきてrを決める式」と考えればこの２つは独立であり、その場合∂r/∂x＝1/cosθは正しいと思うのですが。
詳しい方ご教示願います。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/02/12 16:34

r が x と θの関数なら

∂r/∂x =∂(x/cosθ)/∂x = 1/cosθ
r が x, y の関数なら
∂r/∂x = ∂√(x^2+y^2)/∂x= x/√(x^2+y^2)=x/r=cosθ

つまり独立変数の選び方で偏微分は簡単にころっと変わってしまう。
何が独立変数か明記しない偏微分は無意味です。