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(1)x=rcosθ、y=rsinθの時、次を計算しなさい。
(∂x/∂r ∂x/∂θ)
det ( )=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)
(∂y/∂r ∂y/∂θ)
を計算しなさい。
(2)
r=(x^2+y^2)^(1/2)、θ=Arctan(y/x)の時、次を計算しなさい。
(∂r/∂x ∂r/∂y )
det ( )=(∂r/∂x)(∂θ/∂y)-(∂r/∂y)(∂θ/∂x)
(∂θ/∂x ∂θ/∂y)
xはエックスです。
皆さん、どうぞお願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)x=rcosθ、y=rsinθ のとき
∂(x,y)/∂(r,θ)=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)=cosθrcosθ+sinθrsinθ=r
(2)r=(x^2+y^2)^(1/2)、θ=Arctan(y/x)のとき
∂(r,θ)/∂(x,y)=(∂r/∂x)(∂θ/∂y)-(∂r/∂y)(∂θ/∂x)を求めよ。
r=(x^2+y^2)^(1/2) ⇒ r^2=(x^2+y^2)
θ=Arctan(y/x) ⇒ tanθ=y/x
これはx,yについて解くとx=rcosθ、y=rsinθとなる。
r^2=(x^2+y^2)の両辺をxで偏微分して
2r(∂x/∂r)=2x ⇒∂x/∂r=x/r=cosθ, 同様に∂y/∂r=y/r=sinθ
tanθ=y/xの両辺をxで偏微分して
(∂θ/∂x)(∂tanθ/∂θ)=-y/x^2=-sinθ/cos^2θ
∂tanθ/∂θ=1/cos^2θ, y/x^2=sinθ/cos^2θより
∂θ/∂x=-sinθ/r
tanθ=y/xの両辺をyで偏微分して
(∂θ/∂y)(∂tanθ/∂θ)=1/x=1/rcosθ
∂θ/∂y=cosθ/r
∂(r,θ)/∂(x,y)=(∂r/∂x)(∂θ/∂y)-(∂r/∂y)(∂θ/∂x)=cos^2θ/r+sin^2θ/r=1/r
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