数学の質問です。 sinθ+cosθ=√2/2のとき (sin^3)θ-(cos^3)θの値の求め方

数学の質問です。

sinθ+cosθ=√2/2のとき
(sin^3)θ-(cos^3)θの値の求め方を教えてください。

No.5 回答者： 電灯屋 回答日時： 2021/07/02 16:18

計算ミスがありました。

スミマセン...

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2021/07/02 14:26

1/2＝(sinθ＋cosθ)²＝1＋2sinθcosθより

sinθcosθ＝-1/4
2＝(sinθ-cosθ)²＋(sinθ＋cosθ)²＝(sinθ-cosθ)²＋1/2より
(sinθ-cosθ)＝±√6/2。ゆえに
sin³θ-cos³θ＝(sinθ-cosθ)(1＋sinθcosθ)＝±3√6/8。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2021/07/02 13:46

sin³θ-cos³θ=(sinθ-cosθ)(1+sinθcosθ)

(sinθ+cosθ)²＝1+2sinθcosθ=1/2
sinθcosθ=-1/4
(sinθ-cosθ)²＝1-2sinθcosθ=3/2
(sinθ-cosθ)=±√(3/2)
sin³θ-cos³θ=(±√(3/2))*(3/4)

No.2 回答者： 電灯屋 回答日時： 2021/07/02 13:14

最後、間違えました。

前者では、 sinθ-cosθ<0
後者では、 sinθ-cosθ>0なので、
求める値は、
θ=-π/12+2nπのとき、-5√2/8
θ=7/12π+2nπのとき、5√2/8.

No.1 回答者： 電灯屋 回答日時： 2021/07/02 13:09

( sinθ+cosθ)^2=sin^2+cos^2+2sinθcosθ

=1+2sinθcosθ=1/2より、sinθcosθ=1/4.
( sinθ-cosθ)^2=sin^2θ+cos^2θ-2sinθcosθ=1-1/2=1/2.
よって、sinθ-cosθ=±√2/2.

sin^3θ-cos^3θ
=( sinθ-cosθ)( sin^2θ+sinθcosθ+cos^2θ)=±√2/2×(1+1/4)=±5√2/8.

ところで、 三角関数の合成で、sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)なので、
条件から sin(θ+π/4)=1/2.
したがって、θ+π/4=π/6+2nπまたは5/6π+2nπ.
∴θ=-π/12+2nπ,7π/12+2nπ.
前者の偏角は第4象限、後者は第2象限にあるので、前者では、sinθ-cosθ>0, 後者では、 sinθ-cosθ<0になる.
よって、
θ=-π/12+2nπのとき、
sin^3θ-cos^3θ=5√2/8
θ=7π/12+2nπのとき、
sin^3θ-cos^3θ=-5√2/8.