球面座標表示で∇の計算

球面座標表示で

∇= (∂/∂r) ar+ (∂/r∂θ)aθ + (∂/r sinθ∂φ)aφ

ar : r方向の単位ベクトル
aθ : θ方向の単位ベクトル
aφ : φ方向の単位ベクトル

を導きたいのですが、どのように導けばよいのかわかりません。

x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ

を用いて導く事はできるのでしょうか？

どなたか、アドバイス、ご指摘よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2011/01/06 21:05

せっかくですから、前の質問　QNo.6428893

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6428893.html
の式を使いましょう。

x, y, z 方向の単位ベクトルを、それぞれ ax, ay, az とすると
∇ = ax ∂/∂x + ay ∂/∂y + az ∂/∂z。　(1)

∂/∂x = (∂r/∂x)∂/∂r + (∂θ/∂x)∂/∂θ + (∂φ/∂x)∂/∂φ。
ここで、前の質問の式を使うと
∂/∂x = sinθ cosφ ∂/∂r + (cosθ cosφ / r) ∂/∂θ - {sinφ / (r sinθ)} ∂/∂φ。
同様にして
∂/∂y = (∂r/∂y)∂/∂r + (∂θ/∂y)∂/∂θ + (∂φ/∂y)∂/∂φ
　　　　= sinθ sinφ ∂/∂r + (cosθ sinφ / r)∂/∂θ + {cosφ / (r sinθ)}∂/∂φ。
∂/∂z = (∂r/∂z)∂/∂r + (∂θ/∂z)∂/∂θ + (∂φ/∂z)∂/∂φ
　　　　= cosθ ∂/∂r - (sinθ / r)∂/∂θ。

これらを(1)へ代入し、各偏微分ごとにまとめると
∇ = (sinθ cosφ ax + sinθ sinφ ay + cosθ az) ∂/∂r
　　+ {(cosθ cosφ ax + cosθ sinφ ay - sinθ az) / r} ∂/∂θ
　　+ {(- sinφ ax + cosφ ay) / (r sinθ)} ∂/∂φ。　(2)

ここで、ar の x, y, z 成分を考えることにより
sinθ cosφ ax + sinθ sinφ ay + cosθ az
= ar
であることがわかる。同様にして、
cosθ cosφ ax + cosθ sinφ ay - sinθ az
= aθ、
- sinφ ax + cosφ ay
= aφ。
よって、(2)は
∇ = ar ∂/∂r + (aθ / r) ∂/∂θ + {aφ / (r sinθ)}∂/∂φ。

この回答へのお礼

具体的に記して下さってありがとうございました。
arはx,y,zから図を描いてそれぞれの成分から求める事はできていたのですが
aθ,aφベクトルは図のどの方向のベクトルか把握できていなかったので
それぞれの表記に疑問が生じましたが、いろいろ調べて、aθ,aφのベクトルの図が把握できたところで、それぞれのx,y,z成分が求める事ができ、最終的な∇の式まで解く事ができました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2011/01/07 00:26

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/06 23:45

x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ

より
∂/∂ｒ=sinθcosφ(∂/∂x)＋sinθsinφ(∂/∂y)＋cosθ(∂/∂z)
∂/∂θ=ｒcosθcosφ(∂/∂x)＋ｒcosθsinφ(∂/∂y)-ｒsinθ(∂/∂z)
∂/∂φ=-ｒsinθsinφ(∂/∂x)＋ｒsinθcosφ(∂/∂y)

逆に解いて
∂/∂x=sinθcosφ(∂/∂r)+(1/r)*cosθcosφ(∂/∂θ)-(sinφ/(rsinθ))(∂/∂φ)
∂/∂y=sinθsinφ(∂/∂r)+(1/r)*cosθsinφ(∂/∂θ)+(cosφ/(rsinθ))(∂/∂φ)
∂/∂z=cosθ(∂/∂r)-(sinθ/r)*(∂/∂θ)

x,y,z方向の単位ベクトルをそれぞれi,j,kとおくと
i=sinθcosφ*ar＋cosθcosφ*aθ-sinφ*aφ
j=sinθsinφ*ar＋cosθsinφ*aθ＋cosφ*aφ
k=cosθ*ar-sinθ*aθ
なので

∇=i(∂/∂x)+j(∂/∂y)+k(∂/∂z)
　=（sinθcosφ*ar＋cosθcosφ*aθ-sinφ*aφ){sinθcosφ(∂/∂r)
+(1/r)*cosθcosφ(∂/∂θ)-(1/r)sinθsinφ(∂/∂φ)}
　+(sinθsinφ*ar＋cosθsinφ*aθ＋cosφ*aφ){sinθsinφ(∂/∂r)
+(1/r)*cosθsinφ(∂/∂θ)＋(1/r)*sinθcosφ(∂/∂φ)}
　+(cosθ*ar-sinθ*aθ){cosθ(∂/∂r)-(1/(rsinθ))(∂/∂θ)}
　=(∂/∂r)ar＋(1/r)*(∂/∂θ)aθ＋(1/(rsinθ))(∂/∂φ)aφ

この回答へのお礼

詳細に説明して下さってありがとうございました。
#1さんの説明と合わせて理解できました。
勉強になり、最後まで導けたのですっきりしました。
この式の意味を忘れないよういつも式が導けるようにしっかり覚えておきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/07 00:30