単位法ベクトルの問題を教えて下さい。

球面 x^2 + y^2 + z^2 = 1 の単位法ベクトル e を求めよ。という問題です。
x=cosθcosφ　y=cosθsinφ 　z=sinθとパラメータ表示しそれぞれθとφで偏微分して法線ベクトルを求めました。その結果があまりうまく出てこないのですが方針が間違っているのでしょうか？教えていただきたいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/01 08:31

間違ってないです。

r=(x、y、z)として
∂r/∂θ=(-sinθcosφ、-sinθsinφ、cosθ)
∂r/∂φ=(-cosθsinφ、cosθcosφ、0)
∂r/∂θ×∂r/∂φ=(-(cosθ)²cosφ、-(cosθ)²sinφ、-sinθcosθ)
これの絶対値の2乗は(cosθ)²なので、cosθで割ると
(-cosθcosφ、-cosθsinφ、-sinθ)=-r

球面に垂直な単位ベクトルですね。
cosθ=0のところは少し考察が必要そうだけど・・・
勿論これの逆方向もOK。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/01 08:11

その「方針」が間違っているかどうかをコメントするには、

θとφで偏微分してから、その偏微分したものをどう処理して
法線ベクトルを求めようとしたのかの情報が必要ですね。
外積を作ったのなら、それで正解です。
「結果があまりうまく出てこない」という状況にも、もう少し説明が必要です。
どんな答えが出てきました？
正解に対して不要な違和感を持っただけかもしれないし、
計算のどこかで単純ミスをしたのかもしれない。
何にしろ状況の説明が不足で、何を教えればよいのか判りません。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/01 05:49

x²+y²+z²=1なので

e=<x,y,z>
でした。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/01 04:18

問題が不正確です。

単位法ベクトルを x,y,zで表せというなら
　e=grad(x²+y²+z²)/|grad(x²+y²+z²)|
　　=<x,y,z>/√(x²+y²+z²)
です。