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sin54°の求め方を教えて下さい!
できれば,三角形などの図を利用したやり方で。。

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A 回答 (5件)

sin54°=sin(90°-36°)=cos36°


ですからcos36°の値を求めればよい。
#2の方がおっしゃっているように、cos36°を求めるには、
まず、角が36°、72°、72°の二等辺三角形を書きます。
この三角形を△ABCとしましょう。
そして、∠A=36°、∠B=∠C=72°とします。
次に∠Bの角の二等分線をひき、これと辺ACとの交点をDとします。
このとき△BCDは∠B=36°、∠C=∠D=72°となるので
△ABC∽△BCDがいえます。
いま、BC=1とおくとBD=1(なぜなら△BCDはBC=BDの二等辺三角形)、
またAD=1(なぜなら△ADBは∠BAD=∠DBA=36°より、DA=DBの二等辺三角形)
もいえます。
次にBから辺CDに垂線を下ろし、その足をEとすると、
CE=ED=BCcos72°=cos72°(なぜならBC=1)
△ABC∽△BCDより、
AC:BC=BC:CD
AC=AD+CD、CD=2cos72°よりAC=1+2cos72°、CD=2cos72°
上の比の関係を使えば
(1+2cos72°)×2cos72°=1
cos72°=tとおくと、tは二次方程式
4t^2+2t-1=0の正の解になります(0°<θ<90°ではcosθ>0)。
解くと、cos72°=(√5-1)/4
倍角公式cos2x=2(cosx)^2-1より
cos36°=√{(cos72°+1)/2}=√{(√5+3)/8}
    =√{(6+2√5)/16}
    ={√(6+2√5)}/4
    =(√5+1)/4
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
確認できました!!
これからもお願い致します!!

お礼日時:2003/02/03 11:15

あえて三角比で押す方法(笑)



a=18°とおきます。求めたいのはsin(3a)
ここでsin(54°)=cos(36°)よりsin(3a)=cos(2a)
3sin(a)-4sin^3(a)=1-2sin^2(a)
4sin^3(a)-2sin^2(a)-3sin(a)+1=0
{sin(a)-1}{4sin^2(a)+2sin(a)-1}=0
0<sin(a)<1/2よりsin(a)=(-1+√5)/4

よってsin(3a)=1-2*{(-1+√5)/4}^2=(1+√5)/4(答)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
確認できました!!
これからもお願い致します!!

お礼日時:2003/02/03 11:14

No.2さんのやり方に似ていますが


72度のsin、cosは、方程式
x^5-1=0
を解くことによって求めることができます。
そうすると、54度=72度-18度=72度-(90度-72度)
ですので、丹念に計算すれば答えは出るはずです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
確認できました!!
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お礼日時:2003/02/03 11:15

sin(36)は、たしか、平方根を使った式で表すことができるはずです。


(角が36度、72度、72度の二等辺三角形の各辺の比を求めることで)
またsin(x)、con(x)がわかっているとき、
sin(x/2)も公式があるので出せます。
つまり、36度を元にして、
sin(54)=sin(36+18)=sin(36+(36/2))
で計算していけばきっと出ます。
面倒ですが。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
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これからもお願い致します!!

お礼日時:2003/02/03 11:15

手がきですが。


大きな直角三角形を描いて下さい。
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下側の鋭角を54度に取ります。
後は(縦の長さ)÷(斜辺)を求めてみて下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
確認できました!!
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お礼日時:2003/02/03 11:16

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