計算過程を教えて下さい。

sin54°の求め方を教えて下さい！
できれば，三角形などの図を利用したやり方で。。

No.4 ベストアンサー 回答者： Aquoibonist 回答日時： 2003/01/29 18:19

sin54°＝sin(90°-36°)＝cos36°

ですからcos36°の値を求めればよい。
＃２の方がおっしゃっているように、cos36°を求めるには、
まず、角が36°、72°、72°の二等辺三角形を書きます。
この三角形を△ABCとしましょう。
そして、∠A＝36°、∠B＝∠C＝72°とします。
次に∠Bの角の二等分線をひき、これと辺ACとの交点をDとします。
このとき△BCDは∠B＝36°、∠C＝∠D＝72°となるので
△ABC∽△BCDがいえます。
いま、BC＝1とおくとBD=1(なぜなら△BCDはBC=BDの二等辺三角形)、
またAD=1(なぜなら△ADBは∠BAD=∠DBA＝36°より、DA=DBの二等辺三角形)
もいえます。
次にBから辺CDに垂線を下ろし、その足をEとすると、
CE=ED=BCcos72°＝cos72°(なぜならBC＝1)
△ABC∽△BCDより、
AC：BC＝BC：CD
AC＝AD+CD、CD=２cos72°よりAC=１+２cos72°、CD=２cos72°
上の比の関係を使えば
(１+２cos72°)×２cos72°＝1
cos72°＝ｔとおくと、ｔは二次方程式
４ｔ＾2+２ｔ-1＝０の正の解になります(0°＜θ＜９０°ではcosθ＞0)。
解くと、cos72°＝(√５-１)/4
倍角公式cos２ｘ＝２(cosｘ)＾２-１より
cos36°＝√{(cos72°+1)/2}＝√{(√５+３)/8}
　　　 ＝√{(6+2√５)/16}
　　　 ＝{√(6+2√５)}/4
　　　 ＝(√５+1)/4

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お礼日時：2003/02/03 11:15

No.5 回答者： kony0 回答日時： 2003/01/29 23:15

あえて三角比で押す方法(笑）

a=18°とおきます。求めたいのはsin(3a)
ここでsin(54°)=cos(36°)よりsin(3a)=cos(2a)
3sin(a)-4sin^3(a)=1-2sin^2(a)
4sin^3(a)-2sin^2(a)-3sin(a)+1=0
{sin(a)-1}{4sin^2(a)+2sin(a)-1}=0
0<sin(a)<1/2よりsin(a)=(-1+√5)/4

よってsin(3a)=1-2*{(-1+√5)/4}^2=(1+√5)/4（答）

この回答へのお礼

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お礼日時：2003/02/03 11:14

No.3 回答者： ranx 回答日時： 2003/01/29 14:07

No.2さんのやり方に似ていますが

72度のsin、cosは、方程式
x^5-1=0
を解くことによって求めることができます。
そうすると、54度=72度-18度=72度-(90度-72度)
ですので、丹念に計算すれば答えは出るはずです。

この回答へのお礼

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No.2 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/01/29 13:11

sin(36)は、たしか、平方根を使った式で表すことができるはずです。

(角が36度、72度、72度の二等辺三角形の各辺の比を求めることで)
またsin(x)、con(x)がわかっているとき、
sin(x/2)も公式があるので出せます。
つまり、36度を元にして、
sin(54)=sin(36+18)=sin(36+(36/2))
で計算していけばきっと出ます。
面倒ですが。

この回答へのお礼

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No.1 回答者： Gospel 回答日時： 2003/01/29 12:35

手がきですが。

大きな直角三角形を描いて下さい。
　　　／｜
　　／　｜
　／　　｜
　－－－－
下側の鋭角を54度に取ります。
後は（縦の長さ）÷（斜辺）を求めてみて下さい。

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お礼日時：2003/02/03 11:16