数1 三角形ABCにおいて、a=2√3、b＝2√2、A=60°の時 c、B、Cを求めよ。という問題で

数1
三角形ABCにおいて、a=2√3、b＝2√2、A=60°の時
c、B、Cを求めよ。という問題です
cが√2＋√6、または√2-√6になるところまではわかりました。
あとは余弦定理を使ってB(またはc)を求めるだけだと思うんですが、余弦定理の途中計算ができません。
途中計算を教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/24 19:50

a^2=b^2+c^2-(2bc)cosA

(2√3)^2=(2√2)^2+c^2-2c(2√2)cos60°
12=8+c^2-2c√2
(c-√2)^2-6=0
(c-√2+√6)(c-√2-√6)=0
√6>√2
c-√2+√6>c>0だから
c-√2-√6=0
c=√2+√6

正弦定理から
a/sinA=b/sinB
asinB=bsinA

sinB
=b(sinA)/a
=(2√2)(√3/2)/(2√3)
=√2/2
=1/√2

B=45°
C=180°-60°-45°=75°

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/11/24 15:03

＞cが√2＋√6、または√2-√6になる・・・

辺の長さが √2-√6になることは無いでしょ。
余弦定理から c の値が分かったのなら、
三角形の 3辺の長さが分かったのですから、
∠A は分かっているのですから 正弦定理でも
他の角度が分かりますよね。
あと1つ分かれば 三角形の内角の和から 分かりますよね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/24 10:10

No.1 です。

ちょっと補足。

#1 の最後に
「これは cosC を求めようとしてもうまく行きませんね」
と書いたのは、cosC は求まるけど、そこから「角度 C」を求めることができない、という意味です。
「cosC から試して無理だったら、cosB を求めてみる」という「試行錯誤」が必要ですね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/24 00:06

余弦定理

　a^2 = b^2 + c^2 - 2bc･cosA
より
　(2√3)^2 = (2√2)^2 + c^2 - 2･(2√2)･c･(1/2)
→　12 = 8 + c^2 - (2√2)c
→　c^2 - (2√2)c - 4 = 0
二次方程式の一般解から
　c = √2 ± √[(√2)^2 + 4]
　　= √2 ± √6
c > 0 なので
　c = √2 + √6

辺の長さなので
　√2 - √6 < 0
はあり得ません。

よって
　b^2 = c^2 + a^2 - 2ca･cosB
に代入して
　(2√2)^2 = (√2 + √6)^2 + (2√3)^2 - 2(√2 + √6)(2√3)cosB
→　8 = 2 + 2√12 + 6 + 12 - (4√6 + 12√2)cosB
→　(4√6 + 12√2)cosB = 12 + 4√3
→　cosB = (3 + √3)/(√6 + 3√2)
　　　　 = (3 + √3)(√6 - 3√2)/(6 - 18)
　　　　 = (3√6 - 9√2 + 3√2 - 3√6)/(-12)
　　　　 = (6√2)/12
　　　　 = (√2)/2
従って
　B = 45°

内角の和から
　C = 180 - 60 - 45 = 75°


これは cosC を求めようとしてもうまく行きませんね。