20〜200までの自然数の和

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
こちらの質問を見させて頂き勉強していたのですが
(1)の問題で.7〜66までの数の個数が(36−7+1)になるのかわかりません。
例えば2〜10までの数の個数は(10−2+1)で求まりますが、これは(66−7+1)ではないのですか？
３×（７＋８＋・・・・６５＋６６）
＝３×｛（７＋６６）＋（８＋６５）＋・・・・・（３６＋３７）｝
＝３×７３×（３６ー７＋１）
＝３×７３×３０
＝６５７０
(3)もなんですが、「２００ですがあまり２にはならないので、その下の１９５。」とありますが、195は、あまり2にならなくないですか？
というか、5の倍数で2あまる数はなくないですか？
(3)5で割って2余る数
まず、５の倍数で考えます。
２０以上で最小の５の倍数は、２０。５×４
２００以下で最大の５の倍数は、２００ですがあまり２にはならないので、その下の１９５。５×３９
総和は、
５×（４＋５＋・・・・３８＋３９）＋２×（３９－４＋１）
＝５×｛（４＋３９）＋（５＋３８）＋・・・・・（２１＋２２）｝＋２×３６
＝５×４３×３６＋２×３６
＝（５×４３＋２）×３６
＝７８１２

まだ(4)はやっていませんが、疑問に思ったので質問しました。
どなたか教えてください。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/12/27 10:08

個数を合わせて足しているので、合計した数は半分になります。

例えば、1～10までの数の合計は55って覚えていると思いますが、
これは　（最初の数+最後の数）ｘ（最後の数）÷2　で計算できます。
（1+10）ｘ10÷2＝55
この÷2の部分が半分はになるということです。

最初の数が1でない場合は、1～最後までの合計から1～開始-1までの合計をひくことによって計算できます。

(i= n to m) Σi
= (i= 1 to m) Σi - (i= 1 to n-1)Σi
=[(m+1)ｍ-(n)(n-1)]/2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
÷2することを忘れていました。

お礼日時：2018/12/27 10:30

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2018/12/27 10:13

リンク先を見ていないので推測で回答してみる。

＞(1)の問題で.7〜66までの数の個数が(36−7+1)になるのかわかりません。

何だろう。その質問文通りなら、
　(66-7+1)
の誤りのような気がするのは自分だけではないような気がする。
テンキー入力で「6」と「3」を打ち間違えたような感じですね。

＞(3)もなんですが～

200を割るのではなく、200までの和を割っているんじゃないかな。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
(1)はなぜ(36−7+1)かはわかはらませんが、全体としては理解出来ました。(3)は謎です。

お礼日時：2018/12/27 10:32

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/12/27 12:03

>>7〜66までの数の個数が(36−7+1)になるのかわかりません。

⇒求めてるのは7〜36までの数の個数だよ！　だから(36−7+1)

>>(3)もなんですが、
200+2=202で、200を超える。
だから195+2＝197が最大限界だと言ってるわけ。
200の1個下の195なら、2足した197で2余る、と、手取り足とり言ってる。

数学のセンス０だから解らない・・。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
いや、私の脳みそは猿並みなので＿|￣|○

お礼日時：2018/12/27 22:47

No.4 回答者： mmmma 回答日時： 2018/12/27 12:53

(1)のほうは、３×（７＋８＋・・・・６５＋６６）までは理解できてますか？

このあと、カッコの中の足し算の順番を変えています。7+66、8+65…という感じで一番小さい数と一番大きい数の組み合わせ、2番目に小さい数と2番目に大きい数の組み合わせという感じです。そうすると最後は36+37になります。
この組み合わせの和は全て73になるので、この組み合わせの個数を掛ければ（７＋８＋・・・・６５＋６６）の計算ができるということです。
で、この組み合わせの個数は7+66から始まって36+37までです。ということは7から36までの数の個数を数えればいいということになります。それはつまり36-7+1=30個ということです。

(3)のほうは、5の倍数で2あまる数とお書きですが、5の倍数で、かつ5で割ると2余るという意味ではありません。
質問文にお書きの計算の意味としては5の倍数の部分と余り2の部分を分けて計算するということです。
20から200の中で5で割ると2余る数のうち一番小さいのは22、次が27、続いて32ですが、これを5の倍数の部分と余りにの部分に分けます。
つまり、22は20+2、27は25+2、32は30+2です。

で5の倍数部分と余り２の部分を分けると
20+25+30+2+2+2
=5×(4+5+6)+2×3

これを条件に合う最大の数5×39=197まで拡大すると、余り２の部分2が（39-4+1）個あることになるので、
５×（４＋５＋・・・・３８＋３９）＋２×（３９－４＋１）

ということです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
>かつ5で割ると2余るという意味ではありません。
この部分を勘違いしておりました。
リンク先の計算の意味も理解することが出来ました！

お礼日時：2018/12/27 22:50

No.5 回答者： nouble1 回答日時： 2018/12/27 15:27

3)ですが、

５倍の　余り２とは、
y=5χ+2
で、
此の時の、
yの　地域が、
{y|2≦y≦200}
です。


他の方も　述べられてますが、
χの　最小値は、
0で、
yは　2、

χの　最大値は、
39で、
yは　197、
です。


では、
先ずは、実際に、
2+7+12+17+22+27+32+37+42+47+52+57+62+67+72+77+82+87+92+97+102+107+112+117+122+127+132+137+142+147+152+157+162+167+172+177+182+187+192+197
=3,980

と、いうことで、
示された　ページの、
答え　＝7812は、
間違いと　分かります。
(※注：Excelで　確認済みです。)


所で、
2+7+…+197も、(5×0+2)+(5+1+2)+…(5×39+2)も、
同じ事ですよね？

で、ですね、
(5×0+2)+(5+1+2)+…(5×39+2)
の、
各々の　項から、
+2と、×5を、
取り出し、
カッコで　くくります、

すると、
5(0+1+2+…+39)+2
と、成りまして、

一般式化すると、
y=5χ+2　{y|2≦y≦200}
と、成ります。


て、ですね、
お題は、
此の時の、
yの総和を　求める、
と　言う事ですよね？


なので、
χの　最小値は、
0で、
此の時の　yは、
2、

χの　最大値は、
39で、
此の時の　yは、
197、

なので、
y=5χ+2　{χ|0≦χ≦39}
此の時の、
yの　総和です。


で、
0〜39の　総和は、
(39+0)×(39-0+1)/2=780

yの　総和は、
5×780+2×(39+1)= 3980
です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
丁寧にありがとうございます。m(_ _)m
式の意味も理解することが出来ました！

お礼日時：2018/12/27 22:53

No.6 回答者： nouble1 回答日時： 2018/12/27 15:56

2)ですが、

1〜28の総和×7
なので、

2821ではなく、
2842です、

此も　エクセルで、
確認済みです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
わざわざエクセルでしてくださったのですね！(＞人＜;)
ありがとうございます！m(_ _)m

お礼日時：2018/12/27 22:42

No.7 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/27 17:17

の問題で.7〜66までの数の個数が(36−7+1)になるのかわかりません。

例えば2〜10までの数の個数は(10−2+1)で求まりますが、これは(66−7+1)
>
おっしゃる通りですよ
ただし式の意味はあなたが思っている物ではありません
求める和=21+24+・・・+198
=(3x7+3x8＋・・・+3x66)
=3x(7+8+・・・+66)　←←←共通因数３をくくりだした
ここで7から６６までの和を考えます
その個数は66-7+1です
足し算だけの式は自由に順番を変えられますから
(7+8+9+・・・+64+65+66)を両端からペアにしていくと
(7+66)+(8+65)+(9+64)＋・・・+(36+37)となり
このペアの数は66-7+1の半分で(66-7+1)÷2=3０です。
つまり３０とはこのペアの数の事なのです。
従ってたし合わせて73になるペアが30あるのだから
(7+8+9+・・・+64+65+66)=73x30です
ゆえにくくりだした３も合わせて
求める和は3x73x30
です。
これは等差数列の和の公式につながります。

(3)もなんですが、「２００ですがあまり２にはならないので、その下の１９５。」とありますが、195は、あまり2にならなくないですか？
というか、5の倍数で2あまる数はなくないですか？
＞確かにその通り。ただし、195などがあまり２になるとは書いてありません。
「2余る数を考える前にまず、5で割り切れる数を考えてみるという趣旨の事が書かれています。そのような数は5の倍数で20,25,30,・・・195、200ということ
順番は前後しますが、5で割ると2余る数は、5で割り切れる数に２を足したものだから
2余る数は20+2,25+2,30+2,・・・195+2,200+2ですが200+2は２００を超えているので考える範囲の外の数です。従って200+2は除外
→求める和=(20+2)+(25+2)+(30+2)+・・・+(195+2)
これも(1)と同様に両端から順にペアを作って・・・と言う方法で計算しても良いですただ、(20+2)+(25+2)+(30+2)+・・・+(195+2)=22+27+32+・・・+197が何個の整数の和になるのか分かりにくいかもしれません。そこでリンク先では別の方法で計算しています。
（ちなみに、いくつか方法はありますが個数は分かります。
2余る数：2,7,12,17,22,27,32,・・・197はそれぞれ
5,10,15,20,25,30,35,・・・200より3少ない数です。
5,10,15,20,25,30,35,・・・200までの個数は200÷5=40個ですから
それぞれより3小さい数：2,7,12,17,22,27,32,・・・197の項数も40です
従って20以上のもの（22,27,32,・・・197）は40-4=36個と分かります）

リンク先の考え方
足し算だけの式は自由に順番を変えられますから、+2をすべて後ろへ移して
求める和=(20+2)+(25+2)+(30+2)+・・・+(195+2)
=(20+25+30+・・・+195)+・・・(2+2+2+・・・+2)
=５×（４＋５＋・・・・３８＋３９)+・・・(2+2+2+・・・+2)
としています。このように変形して5で割ると2余る数がいくつあるか分かりやすくしているのです。ちなみに5で割ると2余る数は（４＋５＋・・・・３８＋３９)に含まれる整数の個数から39-4+1=36と分かります。このとき(2+2+2+・・・+2)に含まれる２の個数も同じく３６です。
このことから、リンク先のような計算式を得ます。
ただし、リンク先は後半にミスがあります
（４＋５＋・・・・３８＋３９)は（１）同様にして
4+39=43のペアが36÷2=18こできますから
（４＋５＋・・・・３８＋３９)=43x18です
これを用いて
５×（４＋５＋・・・・３８＋３９)+・・・(2+2+2+・・・+2)
=5x43x18+2x36
=3942・・・答え
となります（ただ、この解法は少し遠回りしている感があります）


前に述べたように、（22,27,32,・・・197）は40-4=36個と分かる方はこのような計算はせずに(1)と同じ方法でペア18こを作って
22+27+32+・・・+197を計算するほうが間違うリスクが少なくなります。
（22+27+32+・・・+197)=219x36÷2＝3942

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
一番上に上がっていたので、最初に読みましたが、よく理解出来ました！

お礼日時：2018/12/27 22:41