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こちらの質問を見させて頂き勉強していたのですが
(1)の問題で.7〜66までの数の個数が(36−7+1)になるのかわかりません。
例えば2〜10までの数の個数は(10−2+1)で求まりますが、これは(66−7+1)ではないのですか?
3×(7+8+・・・・65+66)
=3×{(7+66)+(8+65)+・・・・・(36+37)}
=3×73×(36ー7+1)
=3×73×30
=6570
(3)もなんですが、「200ですがあまり2にはならないので、その下の195。」とありますが、195は、あまり2にならなくないですか?
というか、5の倍数で2あまる数はなくないですか?
(3)5で割って2余る数
まず、5の倍数で考えます。
20以上で最小の5の倍数は、20。5×4
200以下で最大の5の倍数は、200ですがあまり2にはならないので、その下の195。5×39
総和は、
5×(4+5+・・・・38+39)+2×(39-4+1)
=5×{(4+39)+(5+38)+・・・・・(21+22)}+2×36
=5×43×36+2×36
=(5×43+2)×36
=7812

まだ(4)はやっていませんが、疑問に思ったので質問しました。
どなたか教えてください。

A 回答 (7件)

の問題で.7〜66までの数の個数が(36−7+1)になるのかわかりません。


例えば2〜10までの数の個数は(10−2+1)で求まりますが、これは(66−7+1)
>
おっしゃる通りですよ
ただし式の意味はあなたが思っている物ではありません
求める和=21+24+・・・+198
=(3x7+3x8+・・・+3x66)
=3x(7+8+・・・+66) ←←←共通因数3をくくりだした
ここで7から66までの和を考えます
その個数は66-7+1です
足し算だけの式は自由に順番を変えられますから
(7+8+9+・・・+64+65+66)を両端からペアにしていくと
(7+66)+(8+65)+(9+64)+・・・+(36+37)となり
このペアの数は66-7+1の半分で(66-7+1)÷2=30です。
つまり30とはこのペアの数の事なのです。
従ってたし合わせて73になるペアが30あるのだから
(7+8+9+・・・+64+65+66)=73x30です
ゆえにくくりだした3も合わせて
求める和は3x73x30
です。
これは等差数列の和の公式につながります。

(3)もなんですが、「200ですがあまり2にはならないので、その下の195。」とありますが、195は、あまり2にならなくないですか?
というか、5の倍数で2あまる数はなくないですか?
>確かにその通り。ただし、195などがあまり2になるとは書いてありません。
「2余る数を考える前にまず、5で割り切れる数を考えてみるという趣旨の事が書かれています。そのような数は5の倍数で20,25,30,・・・195、200ということ
順番は前後しますが、5で割ると2余る数は、5で割り切れる数に2を足したものだから
2余る数は20+2,25+2,30+2,・・・195+2,200+2ですが200+2は200を超えているので考える範囲の外の数です。従って200+2は除外
→求める和=(20+2)+(25+2)+(30+2)+・・・+(195+2)
これも(1)と同様に両端から順にペアを作って・・・と言う方法で計算しても良いですただ、(20+2)+(25+2)+(30+2)+・・・+(195+2)=22+27+32+・・・+197が何個の整数の和になるのか分かりにくいかもしれません。そこでリンク先では別の方法で計算しています。
(ちなみに、いくつか方法はありますが個数は分かります。
2余る数:2,7,12,17,22,27,32,・・・197はそれぞれ
5,10,15,20,25,30,35,・・・200より3少ない数です。
5,10,15,20,25,30,35,・・・200までの個数は200÷5=40個ですから
それぞれより3小さい数:2,7,12,17,22,27,32,・・・197の項数も40です
従って20以上のもの(22,27,32,・・・197)は40-4=36個と分かります)

リンク先の考え方
足し算だけの式は自由に順番を変えられますから、+2をすべて後ろへ移して
求める和=(20+2)+(25+2)+(30+2)+・・・+(195+2)
=(20+25+30+・・・+195)+・・・(2+2+2+・・・+2)
=5×(4+5+・・・・38+39)+・・・(2+2+2+・・・+2)
としています。このように変形して5で割ると2余る数がいくつあるか分かりやすくしているのです。ちなみに5で割ると2余る数は(4+5+・・・・38+39)に含まれる整数の個数から39-4+1=36と分かります。このとき(2+2+2+・・・+2)に含まれる2の個数も同じく36です。
このことから、リンク先のような計算式を得ます。
ただし、リンク先は後半にミスがあります
(4+5+・・・・38+39)は(1)同様にして
4+39=43のペアが36÷2=18こできますから
(4+5+・・・・38+39)=43x18です
これを用いて
5×(4+5+・・・・38+39)+・・・(2+2+2+・・・+2)
=5x43x18+2x36
=3942・・・答え
となります(ただ、この解法は少し遠回りしている感があります)


前に述べたように、(22,27,32,・・・197)は40-4=36個と分かる方はこのような計算はせずに(1)と同じ方法でペア18こを作って
22+27+32+・・・+197を計算するほうが間違うリスクが少なくなります。
(22+27+32+・・・+197)=219x36÷2=3942
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
一番上に上がっていたので、最初に読みましたが、よく理解出来ました!

お礼日時:2018/12/27 22:41

2)ですが、


1〜28の総和×7
なので、

2821ではなく、
2842です、

此も エクセルで、
確認済みです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
わざわざエクセルでしてくださったのですね!(>人<;)
ありがとうございます!m(_ _)m

お礼日時:2018/12/27 22:42

3)ですが、



5倍の 余り2とは、
y=5χ+2
で、
此の時の、
yの 地域が、
{y|2≦y≦200}
です。


他の方も 述べられてますが、
χの 最小値は、
0で、
yは 2、

χの 最大値は、
39で、
yは 197、
です。


では、
先ずは、実際に、
2+7+12+17+22+27+32+37+42+47+52+57+62+67+72+77+82+87+92+97+102+107+112+117+122+127+132+137+142+147+152+157+162+167+172+177+182+187+192+197
=3,980

と、いうことで、
示された ページの、
答え =7812は、
間違いと 分かります。
(※注:Excelで 確認済みです。)


所で、
2+7+…+197も、(5×0+2)+(5+1+2)+…(5×39+2)も、
同じ事ですよね?

で、ですね、
(5×0+2)+(5+1+2)+…(5×39+2)
の、
各々の 項から、
+2と、×5を、
取り出し、
カッコで くくります、

すると、
5(0+1+2+…+39)+2
と、成りまして、

一般式化すると、
y=5χ+2 {y|2≦y≦200}
と、成ります。


て、ですね、
お題は、
此の時の、
yの総和を 求める、
と 言う事ですよね?


なので、
χの 最小値は、
0で、
此の時の yは、
2、

χの 最大値は、
39で、
此の時の yは、
197、

なので、
y=5χ+2 {χ|0≦χ≦39}
此の時の、
yの 総和です。


で、
0〜39の 総和は、
(39+0)×(39-0+1)/2=780

yの 総和は、
5×780+2×(39+1)= 3980
です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
丁寧にありがとうございます。m(_ _)m
式の意味も理解することが出来ました!

お礼日時:2018/12/27 22:53

(1)のほうは、3×(7+8+・・・・65+66)までは理解できてますか?



このあと、カッコの中の足し算の順番を変えています。7+66、8+65…という感じで一番小さい数と一番大きい数の組み合わせ、2番目に小さい数と2番目に大きい数の組み合わせという感じです。そうすると最後は36+37になります。
この組み合わせの和は全て73になるので、この組み合わせの個数を掛ければ(7+8+・・・・65+66)の計算ができるということです。
で、この組み合わせの個数は7+66から始まって36+37までです。ということは7から36までの数の個数を数えればいいということになります。それはつまり36-7+1=30個ということです。

(3)のほうは、5の倍数で2あまる数とお書きですが、5の倍数で、かつ5で割ると2余るという意味ではありません。
質問文にお書きの計算の意味としては5の倍数の部分と余り2の部分を分けて計算するということです。
20から200の中で5で割ると2余る数のうち一番小さいのは22、次が27、続いて32ですが、これを5の倍数の部分と余りにの部分に分けます。
つまり、22は20+2、27は25+2、32は30+2です。

で5の倍数部分と余り2の部分を分けると
20+25+30+2+2+2
=5×(4+5+6)+2×3

これを条件に合う最大の数5×39=197まで拡大すると、余り2の部分2が(39-4+1)個あることになるので、
5×(4+5+・・・・38+39)+2×(39-4+1)

ということです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
>かつ5で割ると2余るという意味ではありません。
この部分を勘違いしておりました。
リンク先の計算の意味も理解することが出来ました!

お礼日時:2018/12/27 22:50

>>7〜66までの数の個数が(36−7+1)になるのかわかりません。


⇒求めてるのは7〜36までの数の個数だよ! だから(36−7+1)

>>(3)もなんですが、
200+2=202で、200を超える。
だから195+2=197が最大限界だと言ってるわけ。
200の1個下の195なら、2足した197で2余る、と、手取り足とり言ってる。

数学のセンス0だから解らない・・。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
いや、私の脳みそは猿並みなので_| ̄|○

お礼日時:2018/12/27 22:47

リンク先を見ていないので推測で回答してみる。



>(1)の問題で.7〜66までの数の個数が(36−7+1)になるのかわかりません。

何だろう。その質問文通りなら、
 (66-7+1)
の誤りのような気がするのは自分だけではないような気がする。
テンキー入力で「6」と「3」を打ち間違えたような感じですね。

>(3)もなんですが~

200を割るのではなく、200までの和を割っているんじゃないかな。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
(1)はなぜ(36−7+1)かはわかはらませんが、全体としては理解出来ました。(3)は謎です。

お礼日時:2018/12/27 10:32

個数を合わせて足しているので、合計した数は半分になります。


例えば、1~10までの数の合計は55って覚えていると思いますが、
これは (最初の数+最後の数)x(最後の数)÷2 で計算できます。
(1+10)x10÷2=55
この÷2の部分が半分はになるということです。

最初の数が1でない場合は、1~最後までの合計から1~開始-1までの合計をひくことによって計算できます。

(i= n to m) Σi
= (i= 1 to m) Σi - (i= 1 to n-1)Σi
=[(m+1)m-(n)(n-1)]/2
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
÷2することを忘れていました。

お礼日時:2018/12/27 10:30

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