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学校の先生から漸化式の答えを求めるのに次数下げを使う方法を聞いたのですが、、、疑問があるんです。

a1=1,an+1=2an+1 …(1)
これを漸化式の形にしたときに、
an+1+1=2(an+1)=2^n(a1+1)=2^(n+1)
よってan+1=2^(n+1)-1 …(2)
次数を下げて、an=2^n-1 …(3)

この最後の行の「次数を下げて」というのをしていいのかが分かりません。
というのも、条件式(1)はn≧1のときの話であって、だから(2)もn≧1のときのコトですよね?
ということは(2)はa2、a3、a4、・・・を示しているのであって、a1は示していない。
だから答え(3)は、n≧2のときの話になると思うんです。
これが解でいいのかなと思うのですが、どうでしょう?

A 回答 (4件)

an+1+1=2(an+1)=2^n(a1+1)=2^(n+1)


この式変形(正確にはbn=an+1とおいて、これが等比数列だから、とやることになりますね)、これはすべてのn≧1でいえる式です。なぜなら漸化式を変形しただけだからです。であれば、第2項と最終項を2で割って、
an+1=2^n
もすべてのn≧1でいえるはずです。これが次数下げ(より正確にいうと「次数下げをしてもn≧1で成立するということ」)のいちばんの根拠です。こうしておけばa0を考えなくてもよいし、またn=1のとき別に確かめる必要もありません。

もっとまじめに書くと、このタイプの漸化式でn=1の場合を別に考慮する必要のある問題はひとつもありません。つまりa1でも成り立つというのは偶然ではなく、必然なのです。というのは、
a1=r,an+1=pan+q …(1)
を考えましょう。pは0でも1でもないとしておきます。α=pα+qを満たす実数αを考えて、(1)の漸化式から片々引くと
an+1-α=p(an-α)=p^n(a1-α)=p^n(r-α)
です。これはすべてのn≧1で成立します。ならば、先と同様に第二項と最終項をpで割って(p≠0を仮定してますから)
an-α=p^(n-1)(r-α)
となるはずです。一見次数下げn→n-1を行っているように見えるのですが、実はそうではなくて、単に両辺をpで割るということをやっただけなのです。だからnの条件がn≧1からn≧2となるようなことはおこりません。つまりn=1の場合だけ一般解と違う、ということは、“決して”起こらないのです。

まとめておくと、次数下げによって、
an+1=2^(n+1)-1 …(2)
an=2^n-1 …(3)
(2)から(3)を導いたとすれば、(3)はn≧2でしか証明したことにはなりません。したがって正確にやろうとするならば、(2)の式がn=0でも成立することを別途証明するか、あるいは(3)の式がn=1でも成り立つことを別途証明する必要があります。ですが、実は元の漸化式の変形をよく見てやれば、次数下げをすることなく、(3)の式がn≧1で成り立つことを直接導くことが出来るのです。

この事実を知っていれば、「形式的な次数下げは常にn≧1で正当化されている」ということになりますから、何も迷うことなく次数を下げてよいことになります。絶対100%というようなことを僕が言い切るのはまずいですが、根拠をかかずに次数下げを行ったからといって入試で減点されるようなことはまずないと思われます。例外がある計算には根拠は必要ですが、例外のない計算には根拠が必要ないからです。
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この回答へのお礼

大変丁寧な回答ありがとうございます(≧ω≦)
そうか、第2項を使っただけだったんですね!それだったらもちろんn≧1で成り立ちますもんね(´∀`*)なるほどなるほど。

(2)式から(3)式を「次数を下げて」で導いて解とするのは減点はされない、と。でも
「an+1+1=2(an+1)=2^n(a1+1)=2^(n+1)」
の式を1本書いて、
「よって、an=2^n-1」
と書いたほうが、第2項を2で割りました感が出て良いですかね?
あっでも、「形式的な次数下げは常にn≧1で正当化されている」ことになるから別に構わないのか(^_^;)
ありがとうございましたw

お礼日時:2006/07/17 22:26

なるほどおもしろいですね。

こんなことは考えなかったというか計算の最後で無意識のうちにn=1をチェックしていたのですね。

これは任意のa1にも成立するので何故かと考えてみたのですが実は
a(n+1)=2^(n+1)-1 …(2)
の式はn=0でも成立しているのです。というのは
a1=1,an+1=2an+1 …(1)
の式はn=0でも成立しているから。というか成立するようにa0を決めたと考えれば(~、~)良いのです(問題はa0については何も言っていないので)。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます(≧ω≦)
なるほど!!勝手にa0を考えればいいのか!
ん~~つっても、問題文に「n≧1のとき」とか「n≧2のとき」って指定があったときも、勝手にa0ないしa1を作っていいんですか?

お礼日時:2006/07/17 22:02

>答え(3)は、n≧2のときの話になる



#1さんも仰ってますが、漸化式は通常初項についてはあてはならない、というか2番目の式が使えないので、通常こういう場合ちゃんと確かめた上で「a1もこの式に当てはまるので、一般にn≧1で、an=・・・・」というふうに書けと習うのが普通ですが。(もし先生がそう仰ってないならば、それは先生がいい加減なのか、あるいは教育的配慮、つまりそういう場合はあなた方には不必要(たとえば受験に数学Bを使う人は殆どいない学校であるとか)、という判断で省略したかのどちらかでしょう)

実際の所高校の教科書だと(一応n=1を代入して確かめた上で)解答には
「n=1の場合もこれは成り立っているから(ここで計算まで書く必要はない)、一般に任意の自然数nについてan=・・・」というふうに書くのが普通でしょう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます(≧▽≦)
>2番目の式が使えないので
えっと、、2番目の式ってどれでしょう?
俺も「n=1の場合も成り立っている」的な説明書きを書いたほうがいいのかと思うのですが、先生いわく、必要ない、と。
因みに数学Bはバッチリ使います(´ヘ`;)

お礼日時:2006/07/17 21:56

次数を下げることは問題ありません。

次数を下げることでn≧1という条件がn≧2に置き変わるので。

しかし最終的な解答を見ると問題がありそうです。
確かに漸化式を解いて得られた一般項がn=1のとき成り立たないような場合もあります。
そこら辺を考慮するとこの問題の解答は
 n≧2のとき  a[n] = (2^n)-1
 n=1のとき  a[n] = a[1] = 1
とするべきです。

しかし、n≧2の場合のa[n]にn=1を代入してみるとa[1]=1となりますよね。
なので今回は偶然ですが
  n≧1のとき  a[n] = (2^n)-1
と書いても問題ありません。

もし他の同じような問題を解く場合があれば、
一般項にn=1を代入してみて成り立てばまとめて書いてかまいません。n=1のとき成り立たないような問題ならばn=1のときだけ場合分けして解答しましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます(≧▽≦)
なるほどなるほど、次数下げはOKだけど、n≧2になってしまう、ということか。
n=1のとき成り立ってるのを確認できたら、答えはまとめて書いちゃっていいんですねヽ(* ̄▽)ρ~ф
成り立っていなかったら別に書く、と。
ありがとうございました~(´∀`*)

お礼日時:2006/07/17 21:49

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