【 数A 正の約数の個数 】

問題
　45の倍数で、正の約数の個数が15個である自然数ｎをすべて求めよ。

解答
　※写真

疑問
　「写真」の紫下線部の理由
　(ｎは45の倍数であり、45=3²・５であると、ｎがp²q⁴の形で表せる理由)
　がわかりません。

教えていただけると助かります。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/01 19:44

自然数 n が

n = (p1^e1)(p2^e2)…(pm^em) と素因数分解されるとき、
n の各約数はこの素因数 p1,p2,…、pm を使って
(p1^i1)(p2^i2)…(pm^im) と書くことができ、
ik はそれぞれ 0 以上 ek 以下の整数です。
ik (k=1,2,…,m) の値の組み合わせを数えれば、
n 約数の個数は (1+e1)(1+e2)…(1+em) 個だと解ります。

今回の問題のように約数の個数が 15 と判っていれば、
n の素因数分解の形は m=1, e1 = 14 か m=2, e1=4, e2=2
(または e1=2, e2=4) しか可能性がありません。

一方、n は (3^2)(5^1) の倍数だと判っているので、
素因数 p1=3, p2=5 を持ち(よって m≧2 で)、
しかも e1≧2, e2≧1 でなければなりません。

その両方の条件を満たす n って、
n = (3^2)(5^4) か n = (3^4)(5^2) しかありませんよね。

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2023/03/01 13:01

素因数分解した場合に

（素数１＾ｎ）×（素数２＾m）×・・・
となる整数の約数の数が
（n+1)×（m+1）×・・・
となるのはよろしいでしょうか？
理由
その整数の約数となるのは、各素数について０～ｎ（および０～ｍ）個のなかのどれかを選ぶのと同意であるため、その個数は各素数の「累乗の数＋１」の積となる。
よって、１５個の約数をもつ整数となりえるのは
「１５種類の素数の積」または「2種類の素数からなるｐ＾２×ｑ＾４（＝約数の個数は（2+1）×（4+1）＝１５個）というとなるような形で表される整数」でしかありえないことになります。
既に３は2個含まれているので、前者ではありえません。選択肢は後者のみです。
したがってその候補となる整数は
・３は既に２個使っているので、残りは５の４乗である。
・５を2乗までにして、３を4乗とする。
の2択しかないのです。