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この不等式をとけ、といのがわかりません
tan=sin/cosのときとsin=tancosのときを利用する二通りをおしえていただきたいです

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A 回答 (2件)

まずθの範囲ですがtanθの周期はπ(180°)、sinθの周期は2π(360°)なので


大きい方の周期の範囲-π≦θ<π(-180°≦θ<180°)で考えるとします。
tanθが定義されるためにはθ≠±π/2(±90°)
このようなθの条件で解くことにします。

[I] tanθ=sinθ/cosθ(θ≠±π/2)を使う方法

 sinθ<sinθ/cosθ
 sinθ-(sinθ/cosθ)<0
 sinθ{1-(1/cosθ)}<0
 sinθ(cosθ-1)/cosθ<0
-(cosθ)^2<0を両辺に掛けて
 sinθ(1-cosθ)cosθ>0
cosθ=1はこの不等式を満たさないからθ≠0
この時1-cosθ>0なので
 sinθcosθ>0
 (1/2)sin(2θ)>0
-π≦θ<πより-2π≦2θ<2πなので
 0<2θ<π,-2π<2θ<-π
∴0<θ<π/2,-π<θ<-π/2

[II] sinθ=tanθ*cosθ(θ≠±π/2)を使う方法
 tanθcosθ<tanθ
 tanθcosθ-tanθ<0
 tanθ(cosθ-1)<0
 tanθ(1-cosθ)>0
cosθ=1は不等式を満たさないのでcosθ≠1
従って 1-cosθ>0
 ∴tanθ>0
-π≦θ<π(θ≠±π/2)より
 ∴-π<θ<-π/2, 0<θ<π/2

以上、2通りの結果は一致しました。
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sinθ<tanθ


sinθ<sinθ/cosθ
sinθcosθ<sinθ
2sinθcosθ<2sinθ
sin2θ<2sinθ

sin2θはグラフにするとyは変わらないが、2sinθはyが2倍…じゃ、駄目ですかね…
ちなみに、sin=tancosはわかりません…すみません
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