sinθ＜tanθ

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質問者：nonstylelove
質問日時：2012/02/04 17:57
回答数：2件

この不等式をとけ、といのがわかりません
tan=sin/cosのときとsin=tancosのときを利用する二通りをおしえていただきたいです

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2012/02/04 19:11

まずθの範囲ですがtanθの周期はπ(180°)、sinθの周期は2π(360°)なので

大きい方の周期の範囲-π≦θ＜π(-180°≦θ＜180°)で考えるとします。
tanθが定義されるためにはθ≠±π/2（±90°）
このようなθの条件で解くことにします。

[I] tanθ=sinθ/cosθ（θ≠±π/2）を使う方法

　sinθ<sinθ/cosθ
　sinθ-(sinθ/cosθ)<0
　sinθ{1-(1/cosθ)}<0
　sinθ(cosθ-1)/cosθ<0
-(cosθ)^2<0を両辺に掛けて
　sinθ(1-cosθ)cosθ>0
cosθ=1はこの不等式を満たさないからθ≠0
この時1-cosθ>0なので
　sinθcosθ>0
　(1/2)sin(2θ)>0
-π≦θ＜πより-2π≦2θ＜2πなので
　0＜2θ＜π,-2π＜2θ＜-π
∴0＜θ＜π/2,-π＜θ＜-π/2

[II] sinθ=tanθ*cosθ（θ≠±π/2）を使う方法
　tanθcosθ<tanθ
　tanθcosθ-tanθ<0
　tanθ(cosθ-1)<0
　tanθ(1-cosθ)>0
cosθ=1は不等式を満たさないのでcosθ≠1
従って 1-cosθ>0
　∴tanθ>0
-π≦θ＜π（θ≠±π/2）より
　∴-π<θ<-π/2, 0<θ<π/2

以上、２通りの結果は一致しました。