三角関数の不等式について 282の（6） sinθ<tanθ sinθ<sinθ/cosθ sinθ

三角関数の不等式について

282の（6）


sinθ<tanθ
sinθ<sinθ/cosθ
sinθ（1-cosθ）>0
1-cosθ>=0であるからsinθ>0かつ1-cosθ≠0
0<=θ<2πであるから、sinθ>0のとき0<θ<π
1-cosθ≠0のときθ≠0
よって0<θ<π

という解き方だと模範解答と値と変わってきてしまいます。どこがいけないか教えてください！

模範解答は右辺のsinθをtanθcosθと変形して解いています。答えの値は0<θ<π/2,π<θ<2/3πとなっていました。

No.1 ベストアンサー 回答者： ぬは 回答日時： 2020/12/02 03:19

sinθ<sinθ/cosθ

sinθ(cosθ-1)/cosθ<0
(i)cosθ>0の場合
sinθ(1-cosθ)>0
1-cosθ>0なのでsinθ>0
→0<θ<π
また条件cosθ>0より
→0<θ<π/2
よって0<θ<π/2
(ii)cosθ<0の場合
sinθ(1-cosθ)<0
(1-cosθ)>0なので、sinθ<0
→π<θ<2π
また条件cosθ<0より
→π/2<θ<3π/2
よってπ<θ<3π/2
(i),(ii)より求める範囲は
0<θ<π/2,π<θ<3π/2

cosθをかける時にcosθの正負によって不等号の向きが変わるので場合分けしなきゃいけないです。