【 数Ⅰ 180°ーθの三角比 】 ①sin(180°−θ)＝sinθとなる理由 ②cos(180°

【 数Ⅰ 180°ーθの三角比 】
①sin(180°−θ)＝sinθとなる理由
②cos(180°−θ)＝−cosθとなる理由
③tan(180°−θ)＝−tanθとなる理由
それぞれ教えて下さい。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/16 07:33

原点を中心に単位円描いて、cosやsinが単位円上の点の

y座標とx座標であることを使えば
角度を半周変えれば、点は単位円の反対側へ移るので
sin(θ±180°)=-sinθ
cos(θ±180°)=-cosθ
は一目瞭然。

sinは奇関数だから
sinθ=-sin(θ)
sin(180°-θ)=-sin(θ-180°)=-(-sinθ)=sinθ
cosは偶関数だから
cosθ=cos(-θ)
cos(180°-θ)=cos(θ-180°)=-cosθ

③は①と②から明らか。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/15 20:33

三角定規使うとか単位円書くとかせーよ。

一発でわかる。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/15 19:26

三角関数を定義する方法は、いろいろあります。

同じ関数を定義したとしても、定義の文言が異なると、
こういう基本的な性質についての証明は
証明に書くべきことが違ってきます。
あなたの教科書には、どのような定義が書いてあったでしょうか。

中高の教科書の多くは、直角三角形を使って
0°〜90°に対する三角比を定義した後、
何らかの方法で角度の範囲を拡張するという手順をとります。
拡張の際に使う式も様々です。
(1) sin(-θ) = -sinθ, sin(θ+180°) = -sinθ,
　　cos(-θ) = cosθ, cos(θ+180°) = -cosθ を使う方法。
(2) sin(-θ) = -sinθ, sin(90°+θ) = sin(90°-θ),
　　cos(-θ) = cosθ, cos(90°+θ) = -cos(90°-θ) を使う方法。
(3) sin(θ+90°) = cosθ, cos(θ+90°) = -sinθ を使う方法。
他にもいろいろ。
(4) 質問の①②を拡張に使う方法もありますね。

学年が進むと、三角比から出発するのをやめて
(5) x軸から半時計回りに θ の動径と単位円周の交点の座標を
(cosθ,sinθ) と定義する方法をとることもあります。
その場合は、①②の証明は円の対称性によることになります。

sin, cos をどう定義した場合にも、
③は tanθ = sinθ/cosθ に①②を代入することになるでしょう。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2022/10/15 17:16

三角関数は、三角形で考えるよりも、単位円を描いて考えた方が分かりやすいから、やってみな。