積分 ∫arcsin(2x)dx を解くのに苦戦しています。

積分　∫arcsin(2x)dx　を解くのに苦戦しています。

部分積分を用いてx*arcsin(2x)-∫x/(√1-4x^2) dx　としたのですが、後半部分の積分がうまくいかず、
解答である x*arcsin(2x)+{(√1-4x^2)/2}になりません。

恐縮ですがご教授いただけると幸いです。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2010/05/01 12:57

後半は ∫2x/√(1-4x^2)dx　では？

√f(x)の微分は f '(x)/{2√f(x)}なので、
-2x/√(1-4x^2)　はこの形になっています。

{√(1-4x^2)} ' =-4x/√(1-4x^2)だから
-2x/√(1-4x^2)の積分は　{√(1-4x^2)}/2　です。

この回答へのお礼

2xを微分するのを忘れていました。頭の中で考えていたので、ずっと堂々巡りだったので、回答がわかるとスッキリしました。すぐに回答していただきありがとうございました。

お礼日時：2010/05/07 16:15

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/05/01 13:49

x(1-x^2)^{-1/2}の原始関数は求められますか？

f(x)=1-x^2とおけば
x(1-x^2)^{-1/2}
= (-1/2) f'(x) f(x)^{-1/2}
なんだから合成関数の微分を逆に考えればいいのです．
つまり原始関数は
(-1/2) 2f(x)^{1/2} = f(x)^{1/2}

これが分かれば，x(1-4x^2)^{-1/2}もほぼ同じです．

この回答へのお礼

逆に考えると案外簡単にできました。合成関数の微分の逆という考えを別の問題で詰まった際に使ってみようと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/07 16:17

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/01 14:51

え～？

まず最初に、
2x = sinθ で置換しようよ。

この回答へのお礼

合成関数の2xを微分し忘れていたせいでゴチャゴチャになっていたのですが、sinΘで置く方法が思いつかなかったので、別の問題を解く際に参考にしたいと思います。本当にありがとうございました。

お礼日時：2010/05/07 16:13

No.4 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/05/05 05:40

2x=sinθ

とすると
(dx/dθ)=(1/2)cosθ
(d/dθ)(θsinθ+cosθ)=θcosθ
だから
∫θdx
=(1/2)∫θcosθdθ+c
=(1/2)(θsinθ+cosθ)+c
=(1/2)(2xarcsin(2x)+√(1-4x^2))+c
=x*arcsin(2x)+{(√(1-4x^2))/2}+c

この回答へのお礼

sinΘで置く方法を式で示していただきスムーズに、前の回答してくださった方の置換の方法を実践し、理解することができました。回答していただきありがとうございました。

お礼日時：2010/05/07 16:19