
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
arctan, arcsin を微分してみましょう。
式を変形してから微分し、dy/dx を求めればよいのです。
(1)
y = arctan(x/a) を変形した
tan y = x/a の両辺を x で微分して、
{1/(cos y)^2 }・(dy/dx) = 1/a.
左辺は、合成関数の微分法則を使いました。
式を整理すると、dy/dx = (1/a)(cos y)^2 ,
1/(cos y)^2 = 1 + (tan y)^2 を使って、
dy/dx = 1/{ a( 1 + (x/a)^2 ) } = a/(a^2 + x^2) になります。
(d/dy)tan y = 1/(cos)^2 や
1/(cos y)^2 = 1 + (tan y)^2 を覚えていなかったら
導きましょう。 暗記するばかりが大切でもありません。
商の微分法則を使って
(d/dy)tan y = (d/dy)(sin y/cos y)
= { (sin y)’(cos y) - (sin y)(cos y)’ }/(cos y)^2
= { (cos y)^2 + (sin y)^2 }/(cos y)^2
= 1/(cos y)^2.
また、
1/(cos y)^2 = { (cos y)^2 + (sin y)^2 }/(cos y)^2
= 1 + (sin y/cos y)^2
= 1 + (tan y)^2
です。
(2)
y = x arcsin(x) を変形した
sin(y/x) = x の両辺を x で微分して、
cos(y/x)・(d/dx)(y/x) = 1,
cos(y/x)・{ (dy/dx)x - y }/x^2 = 1.
左辺は、商の微分法則を使いました。
式を整理すると、dy/dx = x/cos(y/x) + y/x.
y/x は、もともと y/x = arcsin(x) でした。
また、sin(y/x) = x より
|cos(y/x)| = √{ 1 - sin(y/x)^2 } = √(1 - x^2) ですが、
cos(y/x) の正負は arcsin の定義により微妙です。
arcsin の値域は、定義しかたが流派により違いますから。
ともかく、dy/dx = ±x/√(1 - x^2) + arcsin(x)
ではあります。
ありがとうございました。
(2)の最初、左辺にxを移行させるんですね!
そして、最後はsinやcosなどを消去した形にする。とてもよく分かりました(__)
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