至急お願いします。 (1)y=arctan(x/a) (2)y=x*arcsin(x) の導関数を求

至急お願いします。
(1)y=arctan(x/a)
(2)y=x*arcsin(x)
の導関数を求めてください。
aは定数です。

(1)はy'=a/cos(y)であっているでしょうか。
(2)は解き方自体が分かりません。

途中式込みでお願いしますします(__)

質問者からの補足コメント

• (1)は合成関数の微分の公式を使います

    補足日時：2020/05/25 13:07

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/25 14:46

arctan, arcsin を微分してみましょう。

式を変形してから微分し、dy/dx を求めればよいのです。

(1)
y = arctan(x/a) を変形した
tan y = x/a の両辺を x で微分して、
{1/(cos y)^2 }・(dy/dx) = 1/a.
左辺は、合成関数の微分法則を使いました。
式を整理すると、dｙ/dx = (1/a)(cos y)^2 ,
1/(cos y)^2 = 1 + (tan y)^2 を使って、
dy/dx = 1/{ a( 1 + (x/a)^2 ) } = a/(a^2 + x^2) になります。

(d/dy)tan y = 1/(cos)^2 や
1/(cos y)^2 = 1 + (tan y)^2 を覚えていなかったら
導きましょう。 暗記するばかりが大切でもありません。

商の微分法則を使って
(d/dy)tan y = (d/dy)(sin y/cos y)
= { (sin y)’(cos y) - (sin y)(cos y)’ }/(cos y)^2
= { (cos y)^2 + (sin y)^2 }/(cos y)^2
= 1/(cos y)^2.
また、
1/(cos y)^2 = { (cos y)^2 + (sin y)^2 }/(cos y)^2
= 1 + (sin y/cos y)^2
= 1 + (tan y)^2
です。

(2)
y = x arcsin(x) を変形した
sin(y/x) = x の両辺を x で微分して、
cos(y/x)・(d/dx)(y/x) = 1,
cos(y/x)・{ (dy/dx)x - y }/x^2 = 1.
左辺は、商の微分法則を使いました。
式を整理すると、dy/dx = x/cos(y/x) + y/x.

y/x は、もともと y/x = arcsin(x) でした。
また、sin(y/x) = x より
|cos(y/x)| = √{ 1 - sin(y/x)^2 } = √(1 - x^2) ですが、
cos(y/x) の正負は arcsin の定義により微妙です。
arcsin の値域は、定義しかたが流派により違いますから。
ともかく、dy/dx = ±x/√(1 - x^2) + arcsin(x)
ではあります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
(2)の最初、左辺にxを移行させるんですね！
そして、最後はsinやcosなどを消去した形にする。とてもよく分かりました(__)

お礼日時：2020/05/25 15:48

No.1 回答者： I_am_a_average_man 回答日時： 2020/05/25 13:21

arctan(x)を、y=tan(x)(定義域は-π/2<x<π/2)の逆関数とする。

また、arcsin(x)を、y=sin(x)(定義域は-π/2≦x≦π/2)の逆関数とする。

arcsin(x)とかarctan(x)の微分は、理系ならばこれから使うので頭に入れた方が良い。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2020/05/25 15:46