線形代数で回転行列からθがいくらか求めていた時に固有ベクトルのならべる前後でθが変わってしまいました

線形代数で回転行列からθがいくらか求めていた時に固有ベクトルのならべる前後でθが変わってしまいましたこれってダメですよね？
何でこんなことが起こるのですか？
逆に写真の右のはなぜ固有ベクトルの順番を変えただけでθが-4分の1πと確定できるのですか？

質問者からの補足コメント

• 右も左も行列式が1にならないと思うのですが

    補足日時：2024/07/18 22:28

• 固有ベクトルは前と後ろ変えてもいいと学んだので変えたらθがおなじにならないという意味で質問しています
  趣旨がわかりにくくてすみません

    補足日時：2024/07/18 22:30

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/19 07:26

固有べク卜ルに順序はないし、回転行列の列ベクトルや行ベクトルは回転行列の固有ベクトルじゃないです。

行列の行ベクトルや列ベクトルの順序を変えれば、行列は当然変化します。
左の行列は回転行列ではありません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/19 01:25

←補足 07/18 22:30

ああ、質問文が意味不明だとおもったら、そういうことか。

行列 A の固有ベクトルってのは、
A を対角化して A = PD(P^-1) ；ただし D は対角行列
としたときの行列 P の列ベクトルのこと。
A 自身の列ベクトルじゃないよ。

「固有ベクトルは前と後ろ変えてもいい」って話は、たぶん、
A = PD(P^-1) の P の列ベクトルを並べ替えると
それに応じて D の対角成分を並べ換えた対角化が成り立つ
って話のことを言ってるんだと思う。

A の列ベクトルを並べ替えたら、行列 A が変わってしまうのは
あたりまえで、行列が変われば固有値も変わる。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/19 01:17

ラーメン屋のおやじだって、

いつも開店行列のことだけ考えてるわけじゃないからねえ...

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/18 22:31

> 右も左も行列式が1にならないと思うのですが

1/√2 を括り出すのをやめて、それぞれの要素に掛け算してから計算してみれば？

この回答へのお礼

理解できました
括った形が回転行列だからそこから行列式が1になると考えずに固有ベクトルを並べた形のみの時で考えてばかりいました
ありがとうございます

お礼日時：2024/07/18 22:38

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/18 22:16

左のは行列式が1にならんでしょう。

てことは、そもそも回転行列じゃない。
それと、(5/4)πってどこから来たのか。 （cosθ=1とcosθ=-1の連立方程式に解はないよねえ。）

この回答へのお礼

ありがとうございます
根本の考え方が間違っていました

お礼日時：2024/07/18 22:25