線形代数についての問題がわからないです。

線形代数についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。
ベクトルv をベクトルa,b,cの１次結合で表してください。また、a,bおよびベクトルwが一次独立となる字っすkの範囲を求めてください。(a,b,c,v,wはすべて3行1列です。)
a=(1,5,1), b=(-1,1,5),c=(6,2,1), v=(38,24,33), w=(3,5,k).

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/08 19:09

＞ ベクトル v をベクトル a,b,c の１次結合で表してください。

xa + yb + zc = v となる実数 x,y,z を求めるだけだから、
連立方程式
1x - 1y + 6z = 38,
5x + 1y + 2z = 24,
1x + 5y + 1z = 33
を解けばいい。
答えは x = 1, y = 5, z = 7.

＞ a,b およびベクトル w が一次独立となる実数 k の範囲を求めてください

a,b,w を列に並べた行列を M として、
det M ≠ 0 となる k を求めればいい。
計算してみると det M = 6k + 42 になるから、
答えは k ≠ -7.