線形代数の問題について教えて下さい。 行列A、行列B、ベクトルx 1.ABx=αxを満たす定数αを求

線形代数の問題について教えて下さい。
行列A、行列B、ベクトルx

1.ABx=αxを満たす定数αを求めよ。
2.B^-1A^-1x=βxを満たす定数を求めよ。

|AB|=α、|B^-1A^-1|=βになりますか？
ご教授お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/12 14:32

行列の「固有値」「固有ベクトル」について、

最低限教科書を一読はしてください。

＞ ABx=αxを満たす定数α
とは、そのような x が存在するような α という意味でしょうか？
与えられた x に対してその式が成立するような α という意味でしょうか？

与えられた x に対して ABx=αx を満たすような α が存在するとは限りません。
そのような α が存在する x を行列 AB の「固有ベクトル」と言い、
α を AB の固有ベクトル ｘ に対する「固有値」と言います。
n 次正方行列の固有値は、とある n 次方程式の解になることが知られており、
行列式 |AB| は、 n 個の固有値の積になっています。

だから、
1.　|AB|=α
2.　|B^-1A^-1|=β
にはなりません。

上述の「とある n 次方程式」を行列 M (M は、AB とか B^-1A^-1 とか)
の「特性方程式」または「固有方程式」と言って、
具体的に |xE-M|=0 です。 (E は M と同サイズの単位行列です。)

よって、答えは
1.　α は、方程式 |xE - AB|=0 の解 x=α.
2.　β は、方程式 |xE - B^-1A^-1|=0 の解 x=β.
となります。
これ以上具体的なことを求めるには、
A, B の成分に関する情報が必要ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/14 00:11

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/06/12 11:16

行列A、行列B、ベクトルxについて、ABx = αx を満たす定数αを求める場合、以下の手順で解くことができます。

ABx = αx を変形すると、 (AB - αI)x = 0 となります。
ここで、I は単位行列です。

これがゼロベクトルになるためには、(AB - αI) の行列式がゼロになる必要があります。
行列式を表す記号としては |AB - αI| = 0 と表します。

したがって、α の値を求めるためには、行列式 |AB - αI| = 0 を解けばよいです。

B^-1A^-1x = βx を満たす定数βを求める場合も同様に、以下の手順で解くことができます。
B^-1A^-1x = βx を変形すると、 (B^-1A^-1 - βI)x = 0 となります。

同様に、ゼロベクトルになるためには、(B^-1A^-1 - βI) の行列式がゼロになる必要があります。
行列式を表す記号としては |B^-1A^-1 - βI| = 0 と表します。

したがって、β の値を求めるためには、行列式 |B^-1A^-1 - βI| = 0 を解けばよいです。

このように、行列式がゼロになることによって、それぞれの定数 α と β の値を求めることができます。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/14 00:13