ベクトルについて

締切済

質問者：tetta
質問日時：2001/02/22 17:04
回答数：2件

ベクトル平均とスカラー平均の違い及び計算方法を教えてください。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： motsuan
回答日時：2001/02/23 10:18

u13さんのおっしゃってるとおりだと思います。

ただ、ベクトル平均の場合は、たとえば長さが１のもので逆のものを足すと
０になるのに対して、スカラー平均であれば、１になります。
ベクトル平均は値が大きくても向きがばらばらなら小さな値になります。
ベクトル平均はいつも風が吹いる向きを表し、
スカラー平均は強さを表していると考えればいいのではないでしょうか？

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No.1

回答者： u13
回答日時：2001/02/22 21:56

ベクトル A（x1,y1) と B(x2,y2) があったときには

ベクトル平均は((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)で答えもベクトル、
スカラー平均は(|A|+|B|)/2=(√(x1*x1+y1*y1) + √(x2*x2+y2*y2))/2
で答えはスカラー量になります。

実際の例えですとA君が北へ1km、B君が東へ1km進んだときには
2人の移動のベクトル平均は北東へ√(1/2)km、スカラー平均は
1kmとなります。

これで答えになってるでしょうか？

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（一番最後に元に戻します）
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次に、回転軸ベクトル（Ax Ay Az)を回転させ、x軸に合致させます。それには二回の
回転変換が必要です。
最初に、ベクトル（Ax Ay Az)と、x軸方向単位ベクトル(1 0 0）のなす平面の法線ベクトルが
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すると、回転軸ベクトルはx-y平面上に乗るので、それがx軸に合うよう、z軸を回転させます
（その角度をψとします）。

ベクトル（Ax Ay Az)と、x軸方向単位ベクトル(1 0 0）のなす平面の法線ベクトルは、(0 Az -Ay)。
x軸周りにφ回転させると、このベクトルは、
「1　　0　　　　0　　　「 0　　=「　　　　　　0
0　cosφ　-sinφ 　 Az　　　Az・cosφ+Ay・sinφ
0　sinφ　 cosφ」　-Ay」　　Az・sinφ-Ay・cosφ」
で、z軸ベクトルに合うので
「　　　　　　0　　　　　 =「0
Az・cosφ+Ay・sinφ　　0　
Az・sinφ-Ay・cosφ」　 1」
これから、cosφ=-Ay/(Ay^2+Az^2)、sinφ=Az/(Ay^2+Az^2)
∴　φ=Arctan(-Az/Ay)

回転軸ベクトル（Ax Ay Az)は、
「1　　0　　　　0　　　「Ax　=「　　　　　　Ax　　　　　　=「　　　　　　　Ax　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=「Ax　
0　cosφ　-sinφ 　 Ay　　　Ay・cosφ-Az・sinφ　　 Ay・{-Ay/(Ay^2+Az^2)}-Az・{Az/(Ay^2+Az^2)}　　 -1
0　sinφ　 cosφ」　 Az」　　 Ay・sinφ+Az・cosφ」　 Ay・{Az/(Ay^2+Az^2)}+Az・{-Ay/(Ay^2+Az^2)}」　　0」
に変換され、x-y平面上に乗ります。これを(Ax' Ay' Az') とします。
つまり、(Ax' Ay' Az')=(Ax -1 0)

始点(Px',Py',Pz')もこの変換を受けるのですが、変換を全部纏めて後、一括変換させます。

今度は、x-y平面上に乗った回転軸ベクトル（Ax' Ay' Az')を、z軸の周りにψ回転させます。
「cosψ　-sinψ　0　「Ax' 　=「Ax'・cosψ-Ay'・sinψ　=「Ax・cosψ+sinψ
sinψ　 cosψ　0 　 Ay'　　 Ax'・sinψ+Ay'・cosψ　　 Ax・sinψ-cosψ
　 0　　　　0　　 1」　 Az'」　　　　　　　Az'　　　　　　」　　　　　0　　　　　　」
これが、x軸ベクトルに合うので、
Ax・cosψ+sinψ=1
Ax・sinψ-cosψ=0
これから、cosψ=Ax/(Ax^2+1)、sinψ=1/(Ax^2+1)
∴　ψ=Arctan(1/Ax)

以上の回転の変換の積は、
「cosψ　-sinψ　0　「1　　0　　　　0　　 =「cosψ　-sinψ・cosφ　 sinψ・sinφ
sinψ　 cosψ　0 　 0　cosφ　-sinφ 　 sinψ　　cosψ・cosφ　-cosψ・sinφ
　 0　　　　0　　 1」　 0　sinφ　 cosφ」　　 0　　　　　sinφ　　　　　cosφ　　　」

この変換を始点(Px',Py',Pz')に施します。
「cosψ　-sinψ・cosφ　 sinψ・sinφ　　「Px' = 「Px'・cosψ-Py'・sinψ・cosφ+Pz'・sinψ・sinφ
sinψ　　cosψ・cosφ　-cosψ・sinφ　 Py'　　 Px'・sinψ+Py'・cosψ・cosφ-Pz'・cosψ・sinφ
　 0　　　　　sinφ　　　　　cosφ　　　」　Pz'」　　Py'・sinφ+Pz'・cosφ　　　　　　　　　　　　　　」　

この点を(Px”,Py”,Pz”)とします。

さて、ここでx軸に合った回転軸ベクトル(1 0 0)周りに(Px”,Py”,Pz”)を角度θ、回転させます。
「1　　0　　　　0　　　「Px”　=「　　　　　Px”　　　
0　cosθ　-sinθ 　 Py”　　Py”・cosθ-Pz”・sinθ　
0　sinθ　 cosθ」　 Pz”」　 Py”・sinθ+Pz”・cosθ」

これを(P_x, P_y, P_z）とします。

今度は、回転させた回転軸を元に戻す変換です。
回転の変換の逆行列は、行列各要素の余因子の行と列を入れ替えたものを行列式で割ったもので、
行列式は、(cosψ）^2+(sinψ)^2=1 なので、逆行列は
「　cosψ　　　　　　sinψ　　　　　　　0　　
-sinψ・cosφ　　cosψ・cosφ　　 sinφ
sinψ・sinφ　　 -cosψ・sinφ　　cosφ」

これを、(P_x, P_y, P_z）に施します。
「　cosψ　　　　　　sinψ　　　　　　　0　　「P_x　=「P_x・cosψ+P_y・sinψ
-sinψ・cosφ　　cosψ・cosφ　　 sinφ　　P_y　　 -P_x・sinψ・cosφ+P_y・cosψ・cosφ+P_z・sinφ
sinψ・sinφ　　 -cosψ・sinφ　　cosφ」 P_z」　 P_x・sinψ・sinφ-P_y・cosψ・sinφ+P_z・cosφ」

結局、θ回転後のP点の座標は、
x座標： P_x・cosψ+P_y・sinψ
y座標： -P_x・sinψ・cosφ+P_y・cosψ・cosφ+P_z・sinφ
z座標： P_x・sinψ・sinφ-P_y・cosψ・sinφ+P_z・cosφ
となります。

ここで、置き換えた変数を順次、元に戻します。
P_x、P_y、P_z を Px”、Py”、Pz” に、
Px”、Py”、Pz” を Px’、Py’、Pz’ に、
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＞横軸が...続きを読む

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