合成関数の偏微分について

z=f(x,y)で　　x=rcosθ　y=rsinθ　と置いたとき

∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)　
∂z/∂θ = r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}　となりますよね。

次にこれらを　∂z/∂r = P　　　∂z/∂θ = Q　　とおいて
2階偏導関数 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r)　
∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ)　
を求めたいのですが

∂P/∂x　や　 ∂Q/∂x　を求めるときに
cosθ(∂z/∂x)　についている　cosθ　や
r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}　についている　r は
定数として扱うべきなのでしょうか？それとも変数とみて積の微分法を
用いればよいのでしょうか？
考えてみれば　cosθ = x/r　で　(x,r)の関数ですから　cosθは
xで偏微分できそうですし
r=x/cosθ　で　(x,θ)の関数ですから　rも偏微分できそうです。

しかし解答をみる限りではいずれも定数として扱われているようです
何故だかさっぱりわかりません。

どなたか知恵を貸していただけるとありがたいです。

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/05 00:09

＞ cosθ = x/r　で　(x,r) の関数ですから　cosθ は x で偏微分できそうですし

＞ r = x/cosθ　で　(x,θ) の関数ですから　r も偏微分できそうです。

偏微分を考えるときには、「何を固定して」微分するのかを意識することが大切です。
∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) という式で使うのであれば、
∂P/∂x や ∂Q/∂x を求めるときに、∂/∂x は「y を固定」した偏微分です。
y を固定した ∂/∂x と、θ を固定した ∂/∂x は、別のものです。

ですから、cosθ や r が x に従属するかどうかは、(x,y) の関数としてどんな関数か
で考えねばならず、(x,r) や (x,θ) の関数として捉えても、直接には判りません。

例えば r は、r = √(x^2 + y^2) ですから、∂r/∂x = x / √(x^2 + y^2) であって、
x について定数ではありません。

これを r = x/cosθ で考えようとするならば、
∂r/∂x = (∂/∂x)(x/cosθ) = (1/cosθ) + x (∂/∂x)(1/cosθ)
= (1/cosθ) + x { (sinθ)/(cosθ)^2 }(∂θ/∂x)
この右辺が恒等的に 0 でなければ、r は x について定数ではありません。

＞ しかし解答をみる限りではいずれも定数として扱われているようです

読み違いだと思います。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/03/04 14:54

> z=f(x,y)で　　x=rcosθ　y=rsinθ　と置いたとき

> ∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)　
> ∂z/∂θ = r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}
P,Qで置き換えないで考えた方が分かりやすいと思います。

∂(∂z/∂r)/∂r = cosθ∂(∂z/∂x) /∂r+ sinθ∂(∂z/∂y)/∂r
=cosθ{∂(∂z/∂x)/∂x(∂x /∂r)+∂(∂z/∂x)/∂y(∂y /∂r)}
+sinθ{∂(∂z/∂y)/∂x(∂x/∂r)+∂(∂z/∂y)/∂y(∂y/∂r)}
=cosθ{cosθ∂(∂z/∂x)/∂x+sinθ∂(∂z/∂x)/∂y}
+sinθ{cosθ∂(∂z/∂y)/∂x+sinθ∂(∂z/∂y)/∂y}
={cos^2θ∂(∂z/∂x)/∂x+2sinθcosθ∂^2z/∂x∂y+sin^2θ∂^2z/∂y^2

∂(∂z/∂θ)∂θ
=r{d(-sinθ)/dθ(∂z/∂x) + d(cosθ)/dθ(∂z/∂y)}
+r[(-sinθ)∂(∂z/∂x)/∂θ + cosθ∂(∂z/∂y)/∂θ]
=r{d(-sinθ)/dθ(∂z/∂x) + d(cosθ)/dθ(∂z/∂y)}
+r[(-sinθ){∂(∂z/∂x)/∂x(∂x/∂θ)+∂(∂z/∂x)/∂y(∂y/∂θ)} + cosθ{∂(∂z/∂y)/∂x(∂x/∂θ)+∂(∂z/∂y)/∂y(∂y/∂θ)}]
=r{-cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)}
+r[(-sinθ){cosθ∂^2z/∂x^2+sinθ∂^2z/∂x∂y} + cosθ{cosθ∂^2z/∂y∂x+sinθ∂^2z/∂y^2}]
=r{-cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)}
-sinθcosθ∂^2z/∂x^2+(cos^2θ-sin^2θ)∂^2z/∂x∂y + cosθsinθ∂^2z/∂y^2}

となります。
P,Qで置き換えて偏微分した式と比較して見てください。
一旦、rが式中にあるときはrでは微分しますが、θで微分する際はrは定数扱いになり、逆に
θが式中にあるときはθでは微分しますが、rで微分する際はθは定数扱いになります。

No.1 回答者： KI401 回答日時： 2009/03/04 03:13

ｘ、ｙは独立。

ｒ、θは独立。
ｘ、ｒは従属。⇒θはｘ,ｒの関数とは呼べない
ｘ、θは従属。⇒ｒはｘ,θの関数とは呼べない
ｙ、ｒは
（略）

ｒはｘ、ｙの関数。
θはｘ、ｙの関数。
ｘはｒ、θの
（略）