cos^2(x+π/4)＝Σ(n=-∞から∞)Cn・e^(inx)が全てのxに対して成り立つように定

cos^2(x+π/4)＝Σ(n=-∞から∞)Cn・e^(inx)が全てのxに対して成り立つように定数Cnを定めよという問題の解答・解説をお願いします。宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/06 19:11

まあ、フーリエ級数展開なわけだけれど、

フーリエ係数の公式を使う必要はない。
cos^2(x+π/4) = { 1 + cos(2x+π/2) }/2　；cosの倍角公式より
　　　　　　　= (1/2) - (1/2)sin(2x)
　　　　　　　= (1/2) - (1/2){ e^(2ix) - e^(-2ix) }/(2i)　；オイラーの等式より
　　　　　　　= (1/2) + (i/4)e^(2ix) + (-i/4)e^(-2ix).
フーリエ級数展開は一意だから、
この式と問題の式を係数比較して
C(0) = 1/2,
C(2) = i/4,
C(-2) = -i/4,
それ以外 C(n) = 0.