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例に、Z^4=1 という問題を解くとします。

ド・モアブルの定理より
r^4(cos4θ + isin4θ) となるところまでは分かります!
しかし
r^4(cos4θ + isin4θ) = 1(cos0 + isin0) は理解出来ませんでした。

この後もいきなり訳の分からない数(2kπ)が出てきて、私にはちんぷんかんぷんです。

ご教示お願いします。

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A 回答 (14件中1~10件)

No.13です。

何を困っているのか、やっとわかってきました。
とりあえず問題を以下のようにとらえますね。
問1.r^4(cos4θ+isin4θ)=1(cos0+isin0)
問2.r^3(cos3θ+isin3θ)=1(cosπ/2+isinπ/2)
について、それぞれの等式を満たすθはなにか。

問1の答え→θ=0,π/2,π,3π/2
問2の答え→θ=π/6,5π/6,3π/2

θのことですが、円を1周すると360度ですが、現代的な数学では360度という表示を用いずに2πを当てはめます。半径1の円周の長さは2πということを思い出してください。
90度=π/2,180度=π,270度=3π/2,360度=2π=0
です。ところで、1周(2π)すると同じところに戻ってきますから、
π/2=π/2+2π=π/2+4π=π/2+2kπ (k=1,2,…)
で他の場合も同様です。

次に、
Z^n=1をド・モアブルの定理を用いて解け。
という問題ならば、

Z^n=1
→(cosθ+isinθ)^n=(cos(nθ)+isin(nθ))
=1=(cos(2kπ)+isin(2kπ))を満たすθはn個ある。
そのθをθmと表記することにすると、cos(θm)+isin(θm)を求めよ。

という問題になります。

●Z^4=1の解
4θ=2kπ → θ=0(=2π),π/2,π,3π/2

θ=3π/2の場合
cos(3π/2)+isin(3π/2)
=0-i
(3π/2は複素平面上で、第3象限と第4象限の間にある)


●Z^3=1の解
3θ=2kπ → θ=0,2π/3,4π/3

π/3=60度,2π/3=120度に注意する。

θ=4π/3の場合
cos(4π/3)+isin(4π/3)
=-1/2-iΓ3/2
=-(1+iΓ3)/2
(4π/3は、複素平面上で第3象限にある。)

スマホにルート記号が入ってなかったので、記号Γで代用しました。上の値を3乗すると、
(-(1+iΓ3)/2)^3=1



…携帯で打ってたら、全体が見えなくて合ってるのかわからんくなってきた。他の方々、ミスあったら修正お願いします(^_^;)
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この回答へのお礼

感謝します!!!
やっと理解出来ました。
私の質問の仕方が悪かったのかもしれませんね...

本当にありがとうございました。
(ケータイで打っていただいていたなんて...)

お礼日時:2014/05/18 12:55

質問者さま



●No.9の補足内容について
1.cos4θ=cos0の件
4θは、θを4倍したものという認識で合ってますよ。
ただし、No.9さんが書いているように、cos4θ=cos0となるのは、4θ=2kπ (k=1,2,…)の形になっていないとヘンだということですよー


2.cos3θはπ/2 ??
ホントにこう言われたのですか?
3θ=π/2とか3θ=3π/2ではなくて?
もし、cos3θ=π/2なら、円周率として知られているπは超越数なので、左辺は無限級数になるはずですが……


長文でもよいので、問題文または教えられたことを、そのまま書いてもらえないでしょうか。

この回答への補足

プリントの問題を解いているだけなので、ほとんど式しかのってません...

なかなか解決できなくて、本当にごめんなさい。
パソコンで分数を使うことがあまりないので逆にしてしまったようです。
すいませんでした。

r^4(cos4θ+isin4θ)=1(cos0+isin0)
r^3(cos3π+isin3θ)=1(cosπ/2+isinπ/2)

4θがそれぞれ0になるのはθを四倍した値が0ということですよね、だとすると3θがそれぞれπ/2となるのはθを三倍した値がπ/2なはずです。
このθの値はなんなのですか?

3θ,4θ この二つの値の求め方をずっと考えているのですが、θの値が分からないので、何を三倍し何を四倍すればいいのか分からないのです。

補足日時:2014/05/16 21:26
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i^(1/2)=+((1+i)/(2^(1/2)))・・・・・(1)



(-i)^(1/2)=-((1+i)/(2^(1/2)))・・・・(2)

(1)式の証明
オイラーの公式において
e^(iθ)=cosθ+isinθ  θ=π/4と置く。

e^(i(π/2)(1/2))
={cos(π/2)+isin(π/2)}^(1/2)
=√i
=(1+i)/√2

(2)式の証明
オイラーの公式において
e^(iθ)=cosθ+isinθ  θ=ー(π/4)と置く。

e^(i(ーπ/2)(1/2))
={cos(ーπ/2)+isin(ーπ/2)}^(1/2)
=√(-i)
=ー(1+i)/√2
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オイラーの公式において


e^(iθ)=cosθ+isinθ  θ=π/4と置く。

e^(i(π/2)(1/2))=√i
=(1+i)/√2なので”-”符号は要らない。
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ちょっと補足します。



i^(1/2)=±((1+i)/(2^(1/2)))

です。奇妙に思えるかも知れませんが、複素数のn乗根はすべて複素数で表せます。
(代数学の基本定理による)
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#4です。



疑問1
4θ=0だということが理解できない(三角関数を軽く見直したにも関わらず)

疑問2
4θ=2kπだということが理解できない。
一般化とはなんですか?

疑問3
r^4=1が理解できない。


回答1,2
sinx=0
cosx=1

を満たすxはx=0,2kπ(k=±1,±2,±3....)ということを教科書で確認してください。しかる後

x=4θと置いてください。

回答3

複素数の極座標表示の基本を読み直してください。


提案

Z^4=1

を解くだけの話ならド・モアブルの定理とかややこしい話を持ち出さない方が賢明です。

Z^4-1=0

を因数分解して

(Z-1)(Z^3+Z^2+Z*1)=0

は解りますか。左辺を展開すれば元に戻ります。

さらに

Z^3+Z^2+Z*1=Z^2(Z+1)+Z+1=(Z+1)(Z^2+1)

を確認してください。

ふつうは因数分解はここまでですが複素数の範囲まで話を広げると

Z^2+1=(Z+i)(Z-i)

と因数分解できます。右辺を展開してi^2=-1を用いれば左辺となります。

以上から

Z^4-1=(Z-1)(Z+1)(Z+i)(Z-i)=0

となり、

Z=1,-1,i,-i

が答です。

この回答への補足

やっとこの問題の趣旨が分かってきたような気がします。
cos4θはθを4倍したということであってますか?
それが0になるということですか?
ここの説明をお願いします!!

cos3θはπ/2らしいです...(うーん、なぜなのだろう...)

これさえ分かればうまくいきそうです!
お願いします!

補足日時:2014/05/14 17:40
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質問者さまの置かれている状況がよくわからないのですが、高校の授業での話なのでしょうか



ド・モアブルの定理は理解できていて、その後に数(2kπ)が出てきてちんぷんかんぷんとあるので、オイラーの公式のほうは知らないと推測します。

オイラーの公式の特殊解は、
e^(iπ)=-1
で、これを変形すると、
e^(iπ)^2=e^(i2π)=1
ここで右辺は1=1^k (k=1,2,…)なので、
e^(i2kπ)=1
となり、複素平面上で半径1の円周上を何回でも動いていく様子をイメージしてみてください。
Z^n=1と、上式を比較すると、kがn乗根の部分に相当し、解は無数にあることもわかります。

そうなるのは、ふつうの実数の平面と違って、複素平面は球面(リーマン球面)と同等であることが現在では判明していて、複素数全体は"閉じている"ためです。

次に、質問者さまが理解できなかったという三角関数の等式ですが、オイラーの公式の一般解は、
e^(iθ)=cosθ+isinθ
です。(証明は省略します)
e^(inθ)=cos(nθ)+isin(nθ)
と書いても意味は同じです。これと、ド・モアブルの定理を見比べてみてください。

ところで、極形式で半径rは、
r=((a・cosθ)^2+(b・sinθ)^2)^(1/2)
と表せるので、a=1,θ=0なら半径r=1です。
また、θが動いていくというのは、複素平面上では回転していって、θ=0からスタートすると、θ=2πで一周します。ですので、
cos0+isin0=cos(2π)+isin(2π)
=cos(2kπ)+isin(2kπ)
となります。

r^4(cos4θ+isin4θ)=1(cos0+isin0)

におけるθにどのような数を当てはめているのか、左辺の関数はどのようなものを想定しているのかわかりませんが、半径は1,θ=kπ/2だと仮定すると、
r^(4・k/2)・(cos4(kπ/2)+isin4(kπ/2))
=r^(2k)・(cos(2kπ)+isin(2kπ))
=1(cos0+isin0)

となります。ちなみに、複素数どうしの乗法は、
Z1,
Z1・Z2,
Z1・Z2・…,
とするたびに複素平面上では回転していき、各Zmの半径が、r<1なら半径は回転するごとに縮小し、1<rなら半径は回転するごとに拡大していきます。
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> … z = r*e^(iθ)という形は初めて見るのですが、何でしょうか?



オイラーの式。
 e^(iθ) = cosθ + isinθ
これは、未修ないし禁じ手なのでしょうか?

  
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< ANo.3 への蛇足。



>これは、{r, θ} 形式で解くため、
> Z^4 = 1 = 1*(cos0 + isin0)
>と、原題を z = r*e^(iθ) 形式に整形しているだけ。
>このあとは r*e^(iθ) の 4 乗根を勘定すべく、r^(1/4) つまり r の4 乗根と、e^(iθ/4) つまりθの 4 等分角を求めることになるでしょう。

つまり、z = r*e^(iθ) としておけば、
 z^(1/4) = r^(1/4) * e^(iθ/4)
が z の 4 乗根だろう。

…ということですヨ

為念。

  

この回答への補足

回答ありがとうございます。
えと、z = r*e^(iθ)という形は初めて見るのですが、何でしょうか?

補足日時:2014/05/13 19:27
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難しく考えていくと、複素解析の話になっていくので、単純にガウス平面上で考えればよいのではないでしょうか。



(ガウス平面)
■■■■■↑■■■■
■■■■■ i■■■■
■■■■■|■■■■
← -1 ー 0 ー 1 →
■■■■■|■■■■
■■■■■-i■■■■
■■■■■↓■■■■

Z^n=1のn乗根は、ガウス平面上で0点を中心に正n角形を形成します。ここでは絵が描けないので伝わりにくいかも知れませんが、一応記します。
1^n=1ですから、1をスタート地点にして、

Z^4=1 →1,i,-1,-i で正4角形
Z^3=1 →1,(-1+iГ3)/2,(-1-iГ3)/2 で正3角形

となります。
(ルート記号がスマホに入ってなかったので、記号Г を代用しました)
正n角形は、各辺の長さ、各角度が、すべて同じという性質を利用しています。

複素数の性質は、現代数学の入門書にいろんな例が記載されているので、参考にされてみてはいかがでしょうか。
個人的には、志賀浩二さんの『数学30講シリーズ』をオススメします。どの本がわかりやすいかは、それぞれ好みがあると思いますが(^_^)
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 ⇔x^3-a^3=0
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 =1/3+1
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(∴ |z|=2/√3 )

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  ただし、この式では 周期π で解が出てきますので、複素数zを極座標表示して 元の複素数になっているか確認します。
  (複素平面上の第2象限にある解を求めるという方法でもOKです。)

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 ∴θ=2π/3, 5π/3

 θ=2π/3 のとき
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    =-1/√3 + i
  となり、元の複素数に一致する。

 θ=5π/3 のとき
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    =+1/√3 - i
  となり、元の複素数の符号が判定していて不一致。

 以上のことから、偏角 θ=2π/3 と求められます。

1) 複素数 z=x+iy の絶対値は次の式で求められます。
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 =1/3+1
 =4/3

(∴ |z|=2/√3 )

2) 偏角θ (0≦θ<2π)は次式で求めます。
  tanθ=y/x
  ただし、この式では 周期π で解が出てきますので、複素数zを極座標表示して 元の複素数になっているか確認します。
  (複素平面上の第2象限にある解を求めるという方法でもOKです。)

  tanθ=1/(-1/√3)=-√3
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質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

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(日本語)
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MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
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(3)
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(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q偏角を表す「arg」の読み方

 どなたか教えて下さい!!

偏角を表す記号「arg」はなんて読めばいいのでしょうか?
 
 至急お願い致します。m(__)m

Aベストアンサー

とりあえずオンライン辞書として使ってみたらどうでしょう?

参考URL:http://www.alc.co.jp/sa_menu.html

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?


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