極座標を使って2重積分の問題を解きたいです。 ∫∫_D cos(x^2+y^2)dxdy D={(x

極座標を使って2重積分の問題を解きたいです。
∫∫_D cos(x^2+y^2)dxdy
D={(x,y) | x^2+y^2≦π/2, x≧0, y≧0}
どなたか詳しく教えて下さい。お願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/18 19:14

極座標変換ってとこまで判っているなら、

あとは作業するだけぴょん。

∬[D] cos(x^2+y^2) dxdy
= ∬[0≦θ≦π/2,0≦r≦√(π/2)] cos(r^2) rdrdθ
= { ∫[0≦θ≦π/2] dθ }{ ∫[0≦r≦√(π/2)] (1/2)(2r)cos(r^2) dr }
= { π/2 - 0 } [ (1/2)sin(r^2) ]_(r=0,√(π/2))
= (π/2)(1/2){ sin(π/2) - sin0 }
= π/4.

No.2 回答者： adebayol 回答日時： 2021/01/18 18:38

stomachmanさん

x≧0,
y≧0という条件もあるので、
θの範囲は0≦θ≦π/2ではないでしょうか？
rの範囲はおっしゃる通り0≦r≦√π/√2でいいと思いますが。。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/18 16:55

> 極座標を使って

と自分で書いてるじゃないですかい。だからx = r cosθ, y = r sinθ として
　　x^2+y^2 = r^2
　　dx dy = |r| dr dθ
　　D = {(r,θ)| r^2≦π/2 ∧ 0≦θ≦π/2}
と書き換える。さらに t = r^2で置換積分。