次の記述について

∫e^i(n+1)Θ dΘ = ∫cos(n+1)Θ+isin(n+1)Θ dΘ=...

∫e^i(n+1)Θ dΘ = -i/(n+1)e^i(n+1)Θ
と想像して積分しちゃだめなんですか？？

No.1 ベストアンサー 回答者： cametan_42 回答日時： 2024/08/03 15:31

If you could, go for it.

※: Calculated with wxMaxima.

wxMaxima:
https://maxima.sourceforge.io

You had better make sure whether your calculation is O.K. or not by using software like Maxima.

この回答へのお礼

can we just take a moment to appreciate how accurate this is?

お礼日時：2024/08/03 22:45

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/03 18:56

それでいいですよ。

複素積分を十分解っているならね。
∫ e^(i(n+1)θ) dθ = 1/(i(n+1)) e^(i(n+1)θ) + C　；Cは定数
　　　　　　　　　= -i/(n+1) e^(i(n+1)θ) + C.
です。
e^(i(n+1)θ) は、θ∈複素数 の全域で正則なので、
一価正則な原始関数を持つ。それが ∫ e^(i(n+1)θ) dθ です。

コーシーの積分定理と留数定理くらいを理解しているのなら、
そうやってかまわないでしょう。

∫ e^(i(n+1)θ) dθ = ∫{ cos((n+1)θ) + i sin((n+1)θ) }dθ
　　　　　　　　　= ∫ cos((n+1)θ) dθ + i ∫ sin((n+1)θ) dθ
　　　　　　　　　= ...
という迂遠な書き方は、ひょっとしたら、
θ が実変数という背景があって、積分を実積分だけで済まそうとしている
のかもしれません。複素積分がよく解ってない相手に対しては
そういう配慮もアリかなあとは思います。

この回答へのお礼

じゃあ、十分りかいしてなかたからだめだ :(
留数定理はここでは関係ないともうけど、
θ が実変数という背景があって はたしかにこれはキャンパスゼミの複素関数の積分p160だからその後を読むとそのとおりだと思いました。
英治くんはほんとにあたまがいいね？

お礼日時：2024/08/03 22:41