数学の問題なんですが,,,

今日の数学でやった問題なんですが、
半径1の円に内接する正五角形ABCDEの一辺の長さをaとする。
（１）　aの値を求めよ。
（２）　線分ACの長さを求めよ。
という問題がわかりませんでした。どなたか分かる方がいましたら、教えていただきたいです。よろしくお願いします。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/16 23:53

半径1の円に内接する正五角形ABCDEから円の中心に線を引くと、頂角が72°の二等辺三角形が5つできる。

θ=36°とすると、2θ=72°、5θ=180°より、3θ=108°になる。
3θ+2θ=180°
3θ=180°-2θ
sin3θ=sin(180°-2θ)=sin2θ
倍角の定理、三倍角の定理により、
sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3
sin2θ=2sinθcosθ
3sinθ-4(sinθ)^3=2sinθcosθ
3-4(sinθ)^2=2cosθ
3-4(1-(cosθ)^2)=2cosθ
4(cosθ)^2 - 2cosθ - 1=0
cosθ=(2±√(4+16))/8=(1±√5)/4
θ=36°よりcosθ>0となるため、cosθ=(1+√5)/4
倍角の定理により、
cos2θ=2(cosθ)^2 - 1
=(1+√5)^2/8 - 1
=(6+2√5)/8 - 1
=(3+√5)/4 - 1
=(-1+√5)/4
よって、cos36°=(1+√5)/4, cos72°=(-1+√5)/4

aの長さは余弦定理により、
a^2=1^2 + 1^2 - 2cos72°
=2-(-1+√5)/2
=(3+√5)/2
=(6+2√5)/4
=((1+√5)/2)^2
a=(1+√5)/2

ACの長さは正五角形の内角が108°なので、∠A=36°, ∠B=108°, ∠C=36°
三平方の定理により
cos36°=(1/2)AC/a

AC=(2a)cos36°
=2((1+√5)/2)((1+√5)/4)
=(1+√5)^2/4
=(6+2√5)/4
=(3+√5)/2

よって、a=(1+√5)/2, AC=(3+√5)/2

この回答へのお礼

返答遅くなり申し訳ありません。ご丁寧にありがとうございました!自分ひとりでも解けるようにも頑張ります！

お礼日時：2020/09/17 17:39