数学IIIに関する質問です。

数学IIIに関する質問です。
f(x)=asinx/cosx+2 (0≦x≦π)の最大値が√３であるとき定数aの値を求めよ。
という問題の答えとそれを求める式を知りたいのです。どなたか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/06 15:17

式は回答者に間違いなく伝わるように書いて下さい。

f(x)=a*sin(x)/(cos(x)+2) (0≦x≦π)
で間違いないですか？

正しければ
a>0かつ
f'(x)=a(2*cos(x)+1)/(cos(x)^2+4cos(x)+4)=0　∴cos(x)=-1/2
(0≦x≦π)なので x=2π/3

この時f(2π/3)=a*(√3/2)/(2-1/2)=a/√3=√3 ∴a=3

この回答へのお礼

問題ちょっと間違えてましたね。申し訳ないです。なんとか解けました。有難うございました

お礼日時：2010/06/06 16:18

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/06 15:31

はは、計算違いをした。

恐縮。
検算をしてくれた人は、ありがとう。
a＜0 の範囲については、検討した？

この回答へのお礼

回答有難うございます！皆さんのコメント見ながらなんとか解けました。
有難うございました

お礼日時：2010/06/06 16:19

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/06 15:00

f(x) = a{(sin x)/(cos x)}+2 だと、0≦x≦π に最大値は無い(いくらでも大きい値がある)から、

f(x) = a(sin x)/{(cos x)+2} ですねえ。

すると、商の微分公式を使って、
f ' (x) = a{(cos x)(2 + cos x) - (sin x)(- sin x)} / (2 + cos x)^2
= 2a(cos x)(1 + cos x) / (2 + cos x)^2.

a の符号で場合分けして、f(x) の増減表を描けば、最大値が a 入りの式で書けますから、
それを = √3 と置いて、方程式を解けばオシマイです。
場合分けに反する不適解が出てくるかもしれないから、気をつけて。

(cos x)(1 + cos x) = 0 となる x の値は、解りますよね？