cos(arcsinx) = sqrt(1-xx)

Question

cos(arcsin x) = sqrt(1 - x*x)
ここでsqrtは√の計算です。

応用物理 数学演習という本を独学していて上記の式が気になりました。

自分では導出できなかったので、ヒントもしくは解答を教えていただければと思います。

shuu_01 · Accepted Answer

三角関数の公式から導く前に、図に描いてみると感覚的に理解できます

shuu_01 · Answer

＞　θ=arcsin(x) ...(1)とおくと
＞　　-π/2≦θ≦π/2　...(2)

あっ！ 定義域に制限あるの、全然 知りませんでした！

習ったのかなぁ？　全然、記憶にない

Wikipedia 三角関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/三角関数

逆関数は逆数ではないので注意したい。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 sin－1 x を arcsin x と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は多価関数になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に主値と呼ばれる枝を

「下図参照」

のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sin－1 x, Arcsin x のように頭文字を大文字にした表記がよく用いられる。

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だそうです

普通、arcsin の場合は　-π/2≦θ≦π/2　、arccos の場合は 　0 ≦θ≦π
で考えるのですね

でも、今回は　”Arccos”　のように頭文字が大文字になってないから、
ギリギリ セーフ？　アウト？

info22_ · Answer

arcsin(x)の定義から
　-π/2≦arcsin(x)≦π/2
なので
θ=arcsin(x) ...(1)とおくと
　-π/2≦θ≦π/2　...(2)
また
　x=sinθ　...(3)

(1),(2)から
　cosθ=cos(arcsin(x))≧0 ...(4)

公式 sin^2(θ)+cos^2(θ)=1 より
　cos^2(θ)=1-sin^2(θ)

(3)より
　cos^2(θ)=1-x^2

(4)より
　cosθ=sqrt(1-x^2)=√(1-x^2)

(1)より
　∴cos(arcsin(x))=sqrt(1-x^2)=√(1-x^2)

shuu_01 · Answer

cos^2 θ ＋ sin^2 θ ＝ 1

arcsin x ＝ θ と置くと

cos^2 （arcsin x） ＋ sin^2（arcsing x） ＝ 1

定義から sin（arcsin x） ＝ x　なので

cos^2 （arcsin x） ＋ x^2 ＝ 1

cos^2 （arcsin x） ＝ 1 - x^2

cos （ arcsin x ） ＝ ±√（1 - x^2）　←　あ、また ケアレスミスを訂正しました

shuu_01 · Answer