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申し訳ありませんが、画像を作成しましたので参照して頂ければと思います。

(x^3/√(x^2+1)) の不定積分なのですが
このように式変形したあと、どのように積分し、答えにたどりつくのかがわかりません。

部分積分などで消えるのかとも試しましたが、うまくいきませんでした・・・

よろしくおねがいします。

「(x^3/√(x^2+1))の不定積分」の質問画像

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A 回答 (1件)

置換積分でできると思います。



∫(x^3/√(x^2+1))dx
=∫x√(x^2+1)dx-∫x/√(x^2+1)dx
ここで、x^2+1=tとおくと、2xdx=dtより、xdx=(1/2)dt
=(1/2)∫t^(1/2)dt-(1/2)∫t^(-1/2)dt
=(1/2)×(2/3)t^(3/2)-(1/2)×2t^(1/2)+C
=(1/3)t^(2/3)-t^(1/2)+C
=(1/3)(x^2+1)√(x^2+1)-√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2+1-3)√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2-2)√(x^2+1)+C

でどうでしょうか?確認してみて下さい。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

無事解くことができました。考えすぎだったようです・・・
丁寧に途中式を書いて頂き、ありがとうございます!

お礼日時:2012/07/24 02:14

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について

1 / (x^2+1)^(3/2) の積分なのですが、これはどのように解いたら良いのでしょうか?
置換積分法で解こうとしても解けませんでしたし、部分積分法でもいまいち分かりませんでした。
ちなみに答えは x / (1 + x^2)^(1/2) + C となっていました。

どなたか解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正攻法で、
x=tanTとおくと、
dx=[1+(tanT)^2]dT
dx=[1+x^2]dT

∫dT/√(1+tanT^2)・・・(-π/2<T<π/2)
=∫dTcosT
=sinT・・・(sinTとtanTの符号が一致しているのを確認して、)
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こんな感じでしょうか。

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q∫1/(x^2+x-1)dxの計算方法を教えてください

この積分はどうやって計算すればいいのでしょうか。

数学の問題集の練習問題にあるため略解答しかないため変形の意味が解りませんでした。
x^2+x-1は部分分数にも分解できないし、(x+1/2)^2+3/4と変形してtanの公式に適用しようとしてみたのですが解答のようには変形できませんでした。

ちなみに解答は
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わかる方いらっしゃいましたらお願いします。

Aベストアンサー

>x^2+x-1は部分分数にも分解できないし
解の公式を使えば因数分解できるので、
部分分数展開してください。

Q∫(x^3+x^2-4x)/(x^2-4)dxの積分が解けません。

∫(x^3+x^2-4x)/(x^2-4)dxの積分が解けません。

一見簡単に見えたのですが、私には難しかったようです。

∫(x^3+x^2-4x)/{(x+2)(x-2)}dxから
x^3+x^2-4xの因数分解を考えたのですが、
x(x^2+x-4)として、x^2+x-4を考えると、単純に因数分解できそうにありません。

強引に(Ax^2+Bx)/(x+2)+(Cx^2+Dx)/(x+2)
と部分分数分解もしましたが、行き詰りました。

お知恵を拝借願います。

Aベストアンサー

もう一歩です。
何とか (Ax^2+Bx)/(x+2)+(Cx^2+Dx)/(x+2) と分解できたのなら、
(Ax^2+Bx)÷(x+2) と (Cx^2+Dx)÷(x+2) の余り付き除算を行って、
仮分数を帯分数になおせば、部分分数分解が完成します。

x -1 -1/(x+2) +1/(x-2) の積分は、
∫(1/x)dx を知っていれば、できますね。

Q∫x^2√(4-x^2)dxの積分

∫x^2√(4-x^2)dxの積分についてです。
以下のように解いて見たんですが,
∫x^2√(4-x^2)dx
=1/3x^3√(4-x^2)-1/3∫x^3√(4-x^2)dx
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-2x/2√(4-x^2)]x^3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-x^4/√(4-x^2)]3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[16-x^4/√(4-x^2)]dx+[16/√(4-x^2)]dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4+x^2)√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
右辺の∫x^2√(4-x^2)dxを左辺に移動させると
4/3∫x^2√(4-x^2)dx=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
両辺を3倍して
4∫x^2√(4-x^2)dx=x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2
よって
∫x^2√(4-x^2)dx=1/4{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}

となりました。途中式・解答はあってますか?よろしくお願いします。

∫x^2√(4-x^2)dxの積分についてです。
以下のように解いて見たんですが,
∫x^2√(4-x^2)dx
=1/3x^3√(4-x^2)-1/3∫x^3√(4-x^2)dx
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-2x/2√(4-x^2)]x^3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-x^4/√(4-x^2)]3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[16-x^4/√(4-x^2)]dx+[16/√(4-x^2)]dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4+x^2)√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
右辺の∫x^2√(4-x^2)dxを左辺に移動させると
4/3∫x^2√(4-x^2)dx=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
両辺を3倍して
4∫x^2√(4-x^2)dx=x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1...続きを読む

Aベストアンサー

1行目の第2項の積分の中の「√(4-x^2)」に微分記号が抜けています.
でも,2行目でしっかり微分されているので,OKです.
4行目の第3項に記号∫が抜けていますが,5行目でしっかり積分されているのでOK!
後は合っていますが,最後の答えの中に
  ∫(4√(4-x^2)dx
が残っており,まだ積分の計算は完了していません.
  ∫(4√(4-x^2)dx
の積分は,x = 2sint と置き換えて積分すれば
  ∫(4√(4-x^2)dx = 4 * (1/2){x√(4 - x^2) + 4sin^-1x/2}
が求められますので,計算してみてください.
上記とあわせると,答えは
 ∫x^2√(4-x^2)dx = (1/4)x^3√(4-x^2) - (1/2)x√(4 - x^2) + 2sin^-1x/2
となるはずです.

Qx/(x^4 +1)の積分

自分の回答では置換積分法を使う事で log|x^8 +1| /2 と出たのですが、回答には arctanx^2/2 と記されていました。
頭の悪い私には「なんで急にarctanが出てて来たの!?」という感じで非常に混乱しています。
誰か教えて頂けませんでしょうか?

Aベストアンサー

x^2=tとおくと
2xdx=dt

∫xdx/(x^4+1)dx
=(1/2)∫du/(u^2+1) (公式使用)
=(1/2)tan^-1(u)+C
=(1/2)tan^-1(x^2) +C

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む