気になったのでお願いします。

∫√(x＾2＋1)dxは置換積分や部分積分などを使ってできるんでしょうか？

計算過程も載せていただくと幸いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/04/21 09:27

t=x+√(x~2+1)とおく　　　　…（これはパターン）

t-x=√(x~2+1)
(t-x)^2=(x~2+1)
2tx=t^2 - 1　　　　　　　　…(a)
x=1/2*(t-1/t)　　　　　　　…(b)
dx=1/2(1+1/t^2)dt

また
√(x^2+1)=t-x=1/2*(t+1/t)　　　　　…(c)　（(b)式を使った）

よって
与式=∫{1/2*(t+1/t)}*{1/2*(1+1/t^2)}dt
　　=∫{t/4 + (1/2)*t + (1/4)/t^3)}dt
　　=(1/8)*t^2 + (1/2)*log|t| - (1/8)*t^2 + C
　　=1/8*(t^2-1/t^2) + (1/2)*log|t| + C

ここで
　t-1/t = 2x　　　　　　　…（(a)式をtで割った）
　t+1/t = 2√(x^2+1)　　　…（(c)式より）
　∴ t^2 - 1/t^2 = (t-1/t)*(t+1/t) = 4x√(x^2+1)

よって
与式 = (1/2)*x√(x^2+1) + (1/2)*log|x+√(x^2+1)| + C

ここで
logxはlog_e(x)の意味です

この回答へのお礼

一番分かりやすかったのでベストアンサーです。他の皆さんも親切にありがとうございました。ずっと疑問に思ってたのですっきりしました。

お礼日時：2012/04/23 00:01

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/21 18:23

sinh を知らなければ、x = tanθ とすればいい。

1 + (tanθ)2乗 = 1/(cosθ)2乗 を知っていれば、
無理なく思いつく置換であるはず。
置換した式を眺めていると、更に y = sinθ と
置換したくなってきて、めでたく積分できる。
一番最後は、部分分数分解を使った有理式の積分。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/04/21 09:13

x=sinh(t)={e^t-e^(-t)}/2と置換すれば

√(x＾2＋1)dx=√{(sinh(t))^2+1}cosh(t)dt=(cosh(t))^2 dt=(1/2){1+cosh(2t)}dt
より

I=∫√(x＾2＋1)dx=t/2+(1/2)∫cosh(2t)dt=t/2+(1/4)sinh(2t)+C
元のxに戻すと
=(1/2)sinh^(-1)(x)+(1/2)x√(x^2+1) +C (Cは積分定数)

あるいは
sinh^(-1)(x)=ln{x+√(x^2+1)}という公式より
I=(1/2)ln{x+√(x^2+1)}+(1/2)x√(x^2+1) +C

双曲線関数sinh,coshについては参考URLをご覧下さい。

なお、積分結果から逆算すると
t=x+√(x^2+1)という置換をすれば積分できます。高校数学範囲であれば
双曲線関数を学習してないだろうから、何故
t=x+√(x^2+1)という置換をすれば置換積分出来るのかの理屈が分からないまま
とにかくt=x+√(x^2+1)と変数変換しないと積分できない、そう変数変換すれば積分できると教えられるでしょう。この置換は丸暗記するしかないでしょう。大学で双曲線関数を習ってから、なぜそう言った変数変換したのかの理由がわかることになるでしょう。

t=x+√(x^2+1)という置換で積分してみて下さい。上の自然対数lnの方の積分結果が導出できます。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/双曲線関数

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/04/21 08:55

√(x＾2＋1)+x=tとおくと、

√(x＾2＋1)=t-x
x^2+1=t^2-2tx+x^2
1=t^2-2tx
x=(t^2-1)/2t
t-x=t-(t^2-1)/2t
=(t^2+1)/2t
dx=[{(2t)^2-2(t^2-1)}/4t^2]dt
={(t^2+1)/2t^2}dt
∫√(x＾2＋1)dx=∫{(t^2+1)/2t}{(t^2+1)/2t^2}dt
=∫{(t^4+2t^2+1)/4t^3}dt
=∫(t/4)dt+∫(1/2t)dt+∫(1/4t^3)dt