2/x^2√(1-x)の不定積分のやり方を教えて欲しいです。自分では置換していくと2/t(1-t^2

2/x^2√(1-x)の不定積分のやり方を教えて欲しいです。自分では置換していくと2/t(1-t^2)^2となってtanhθ=tと置換できるなというところまで分かったのですが計算していくと-shnh(2θ)-2θとなりθからxに戻せなくなってしまいました。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/17 20:40

図の通り

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/17 08:13

t=√(1-x) と置いたなら

　dx=-2tdt
が足りません。

つまり
　∫2/{x²√(1-x)} dx=-4∫dt/(t²-1)²
　=-4∫dt/{(t-1)(t+1)}²
　=-∫{-1/(t-1)+1/(t-1)²+1/(t+1)+1/(t+1)²} dt
　=-{-log|t-1|-1/(t-1)+log|t+1|-1/(t+1)}
　=log|t-1|-log|t+1|+2t/(t²-1)}

　=log|√(1-x) -1| - log|√(1-x) +1| + 2(√(1-x))/x

積分定数は略。