複素積分です。 ∫[-∞,∞]e^(-3ix)/(x^2+1)dx は π/e^3 ですが、自分が計

複素積分です。
∫[-∞,∞]e^(-3ix)/(x^2+1)dx
は π/e^3 ですが、自分が計算すると πe^3 となってしまいます。どこで間違ったのでしょうが。教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2022/07/29 11:59

もうお気づきのようだけど蛇足ながら・・・。

そうです。計算のための原点を中心とする半径Rの半円周を
e^(-3iｚ)/(ｚ^2+1)の下の1次の極　－ｉ　を囲むように
実軸の下側にとるということです。すると留数定理は

∫[Ｒから-Ｒ]e^(-3ix)/(x^2+1)dx＋半円周上のe^(-3iｚ)/(ｚ^2+1)
の線積分Ｉ(Ｒ)＝2πｉe^(-3)/(-２ｉ)＝-πe^(-3)
書き換えると
∫[-ＲからＲ]e^(-3ix)/(x^2+1)dx＝πe^(-3)＋Ｉ(Ｒ)
ここで|Ｉ(Ｒ)|≌1/Ｒ（Ｒが大きい時）だから
∫[-∞,∞]e^(-3ix)/(x^2+1)dx＝πe^(-3)です。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2022/07/28 23:03

No.3は誤りでした。

すみません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。そうなんです。大抵は間違うと思います。でもウルフラム先生は正しい答えを示してくれます。

お礼日時：2022/07/28 23:14

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2022/07/28 22:48

その問題だと πe^3が正解です。

問題が正しいですか？

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2022/07/28 20:56

#1です。

最後の文が間違っているので訂正。

半円上だからと言って自動的に被積分関数の絶対値が<<1/Rになるとは限りませんよ。

が正しい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。上半円ではなく下半円をとるということですね。再検討してみます。

お礼日時：2022/07/28 22:20

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2022/07/28 20:18

まずひとこと言わせてほしい。

質問の文だとどこで間違ったのでしょうか、となっていますが、計算式もない状態ではふつうわかりません。
自分で行った計算式くらい示してから聞いてください。

間違いの箇所は容易に推測されるのでヒントだけ。
留数定理を使うため、閉じた経路での積分を考えていると思います。
その経路の取り方が間違っているのでしょう。
x軸と0を中心とした半円を経路としたと思いますが、半円上での積分の評価が間違っている。それがわかれば半円の取り方自体が間違っていることに気づくはずだ。

半円上での被積分関数の絶対値を評価してみましょう。
半円上だからと言って自動的に被積分関数の絶対値が<<Rになるとは限りませんよ。