No.5
- 回答日時:
R>|ζ|
とする
複素数平面上で
-Rに対応する点をA
Rに対応する点をB
R-ζに対応する点をE
-ζ-Rに対応する点をF
とする
(平行)4辺形ABEFAをCとする
e^(-z^2)はC内に特異点を持たないから
∫_{C}e^(-z^2)dz=0
∴
∫_{-R→R}e^(-x^2)dx+∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{-R-ζ→-R}e^(-z^2)dz=0
第1項は
lim_{R→∞}∫_{-R→R}e^(-x^2)dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx
第2項は
|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{0→1}e^(-(R-tζ)^2)dt|
≦|ζ|/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}|ζ|/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz=0
第3項は
∫_{R-ζ→-ζ-R}e^(-z^2)dz
=∫_{R→-R}e^{-(x-ζ)^2}dx
=-∫_{-R→R}e^{-(x-ζ)^2}dx
だから
lim_{R→∞}∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz=-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx
第4項は
|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{1→0}e^(-(-R-tζ)^2)dt|
≦|ζ|/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}|ζ|/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz=0
∴
∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=0
∴
∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx
No.4
- 回答日時:
R>|ζ|
とする
複素数平面上で
-Rに対応する点をA
Rに対応する点をB
R-ζに対応する点をE
-ζ-Rに対応する点をF
とする
閉曲線ABEFAをCとする
e^(-z^2)はC内に特異点を持たないから
∫_{C}e^(-z^2)dz=0
∴
∫_{-R→R}e^(-x^2)dx+∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{-R-ζ→-R}e^(-z^2)dz=0
第1項は
lim_{R→∞}∫_{-R→R}e^(-x^2)dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx
第2項は
|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{0→1}e^(-(R-tζ)^2)dt|
≦|ζ|/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}|ζ|/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz=0
第3項は
∫_{R-ζ→-ζ-R}e^(-z^2)dz
=∫_{R→-R}e^{-(x-ζ)^2}dx
=-∫_{-R→R}e^{-(x-ζ)^2}dx
だから
lim_{R→∞}∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz=-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx
第4項は
|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{1→0}e^(-(-R-tζ)^2)dt|
≦|ζ|/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}|ζ|/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz=0
∴
∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=0
∴
∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx
No.3
- 回答日時:
R>|ζ|
とする
複素数平面上で
-Rに対応する点をA
Rに対応する点をB
R-ζに対応する点をE
-ζ-Rに対応する点をF
とする
閉曲線ABEFAをCとする
e^(-z^2)はC内に特異点を持たないから
∫_{C}e^(-z^2)dz=0
∴
∫_{-R→R}e^(-x^2)dx+∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{-R-ζ→-R}e^(-z^2)dz=0
第1項は
lim_{R→∞}∫_{-R→R}e^(-x^2)dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx
第2項は
|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{0→1}e^(-(R-tζ)^2)dt|
≦1/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}1/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz=0
第3項は
∫_{R-ζ→-ζ-R}e^(-z^2)dz
=∫_{R→-R}e^{-(x-ζ)^2}dx
=-∫_{-R→R}e^{-(x-ζ)^2}dx
だから
lim_{R→∞}∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz=-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx
第4項は
|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{1→0}e^(-(-R-tζ)^2)dt|
≦1/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}1/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz=0
∴
∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=0
∴
∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx
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