微分方程式を解いてください、 dy/dx=2xy/(x^2+y^2) 途中まで計算したんですが、答え

微分方程式を解いてください、
dy/dx=2xy/(x^2+y^2)

途中まで計算したんですが、答えがあいませんでした
答えはy=C(x^2-y^2)です

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/13 16:59

あれ、締め切られたと思ったら、また投稿されてる。

同次形微分方程式は、u = y/x と置換することで変数分離型になります。
こんなことは、相当チャラい参考書にも、ネットの勉強サイトにすら書いてある。

dy/dx = 2xy/(x^2+y^2) を u = y/x で変換すると、
(du/dx)x + u・1 = 2u/(1+u^2).
これを 1/x = { 1/(2u/(1+u^2) - u) }(du/dx)と変形してから
x で積分すると、
log x = ∫{ 1/(2u/(1+u^2) - u) }du + A　　； Aは定数
= ∫{ 1/u - 1/(u + 1) - 1/(u - 1) }du + A
= (log u) - log(u+1) - log(u - 1) + A.
両辺の e^ をとると、
x = Bu/(u^2 - 1).　　； B =e^A
すなわち、 x = B(y/x)/((y/x)^2 - 1).
整理すると、y = (1/B)(x^2 - y^2).
C = -1/B と置けば完了です。

さて、今回は No.1 さんに どう答えるんですかね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/05/13 01:35

あなたはなにをどのように計算してどう「答えがあわなかった」んですか?