置換積分について

例えば不定積分∫√（1+x^2)dxは、√(1+x^2)=t-xと置換するのが定石ですよね。これはどうやって着想したのでしょうか。似たものに、漸化式や微分方程式の解法があると思いますが、これらはパターンを暗記するしかないのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/24 02:56

この置換「√(1+x^2)=t-x」は高校数学では習わない、双曲線関数（大学数学で習う）による置換から逆に求めた置換なので、高校数学レベルでは、理屈抜きで定石として丸暗記するしかありません。

双曲線関数を使えば
x=sinh(u)と置換します。
√(1+x^2)dx=√(1+sinh^2(u))*cosh(u)du
=cosh^2(u)du=(1/2){1+cosh(2u)}du
となるので
∫√（1+x^2)dx=(1/2)∫{1+cosh(2u)}du
=(1/2){u+(1/2)sinh(2u)}+C
u=sinh^-1(x)を代入して元の変数xに戻すと
=(1/2)sinh^-1(x)+(1/4)sinh(2sinh^-1(x))+C
=(1/2)sinh^-1(x)+(1/2)x√(1+x^2)+C

本題にかえって
　x=sinh(u)という置換は
　u=sinh^-1(x)=log(x+√(1+x^2))
となります。この対数の真数をtとおく置換
　x+√(1+x^2)=t(>0)
から
　√(1+x^2)=t-x
という置換が誘導されます。
そうすると積分ができて

∫√（1+x^2)dx=(1/2)log(x+√(1+x^2))+(1/2)x√(1+x^2)+C
となります。

ここで、公式：sinh^-1(x)=log{x+√(1+x^2)}という関係があります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2013/04/25 21:27

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/04/24 00:48

高校だと √(1+x^2)=t-x と無理矢理いくしかないんだけど, 大学で「双曲線関数」ってものを学ぶと実は簡単.

sinh t = (e^t - e^(-t))/2, cosh t = (e^t + e^(-t))/2 とおくと
d(sinh t)/dt = cosh t, (cosh t)^2 - (sinh t)^2 = 1
を満たす. そこで x = sinh t とおくと
√(1+x^2) = cosh t, dx/dt = cosh t だから
∫√(1+x^2)dx = ∫(cosh t)^2 dt.
この右辺は指数関数で書けば簡単に積分できる. 最後に t を x に戻さないといけないので x = (e^t - e^(-t))/2 から e^t に関する 2次方程式を解く.

ここまでの手順をがんばって追ってみよう.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2013/04/25 21:27