導関数を表すdy/dxのdyやdxは独立して定義されているのでしょうか？積分で出てくる∫dxのdxと

導関数を表すdy/dxのdyやdxは独立して定義されているのでしょうか？積分で出てくる∫dxのdxと関係がありますか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/05 19:38

dx や dy は、微分学の黎明期に「微小量」と考えられていたものですが、

現代では、そういう考え方はしません。
dx や dy を微小量と考えてしまうと、dy/dx が lim[Δx→0]{y(x+Δx)-y(x)}/Δx ではなく
(lim[Δy→0]Δy)/(lim[Δx→0]Δx) の不定形にしかならなくて、微分係数すら定義できません。
オイラーの天才がなければ正しく運用できない、理論としては穴のある「微小量」を回避して、
考えば誰もが解るちゃんとした体系として、微積分学は整備されてきたのです。
近似と極限は似て非なるもので、それをごちゃまぜにしてしまったら、解析学は成り立ちません。

今日的な意味での dx, dy は、x,y の関数がなす空間から、関数体をスカラーとする
とあるベクトル空間への線型写像 d による x,y の像です。
関数の微分をとるという操作によって、どのような式変形が起こるかに着目した
あくまで形式的なもので、微小だとか微小でないとかを考える対象にすらなりません。
dx や dy は、実数や複素数ではないので、大小の概念すら入らないからです。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/05 15:33

ｙはｆ(x)とも書きます。

dy＝ｄf(x)=f(x+dx)-f(x)
dx=(x+dx)-x
とｄｙとｄｘは切っても切ることの出来ない深い関係にあります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/05 15:12

ｄｘ(dy)はx(y)の（限りなく0に近いような）微小な変化量と言う意味

およそのイメージは下図上段
y=f(x)の曲線グラフ上の任意の点を赤丸とする
理解を促進するために赤丸は微小な円だと思ってもらっても良いです
この点を（格段に）拡大したものが右
すると、この点（微小円）の変化の割合（傾き）は
変化の割合＝yの増加量/xの増加量＝dy/dx
(参考：微分の定義に関連させるなら　
赤点の接線の傾き=f'(x)=dy/dx=Lim(Δ→0)Δy/Δx=Lim(Δ→0){f(x+Δx)-f(x)}/Δx
ちなみにΔは変化量（増加量）を表わす)

一方　integral　との関係は下図下段
図のように関数のグラフとx軸で囲まれる面積（関数f(x)がx軸より下になる部分ではその面積をマイナスとして扱う）を、
図に縦赤線を入れて短冊状にしてその和だと見なす
赤線の間隔を微小(dx)とすると、横幅が非常に短いので、この短冊は縦の長さ（高さ)f(x)の縦長長方形とみなせます
図ではx2-x1=x3-x2=・・・=dx　と言う状態で
例えばy軸とx=x1から成る短冊の高さはf(x1)とみなせるから、短冊の面積はf(x1)dx
その隣の、x=x1とx=x2から成る短冊の高さはf(x２)とみなせるから、短冊の面積はf(x2)dx
・・・
と言う具合で短冊の面積の総和は　f(xi)dx を足し合わせたもの　という事になります
(ただし、iには整数が当てはまるが、下図のx1の位置は便宜上のもので、必ずしも下図の位置がx1,x2・・・の所定の位置ということではない）

これを積分記号で表わしたものが
∫f(x)dx
「∫」は(短冊面積の)総和の意味、　f(x)dxは短冊の面積の意味　


参考：Lim(Δx→0)Σf(xi)Δx=∫f(x)dx
(という事はもし積分でdxを書き忘れると大変なことになります)

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2019/08/05 13:54

微分も積分も、yはxの関数ですから、独立ではありません。